Commentarii Mathematici Helvetici

Asymptotische Abschätzung des absoluten Betrages einer Funktion, die die Werte 0 und 1 nicht annimmt

Von Alexander Ostrowski, Basel

Es sei p [z) eine Funktion, die fur [ я j < i regular und von о und i verschieden ist. Dann gilt bekanntlich nach Schottky die Ungleichung

( a ) !/(^)|<^(Л,^), A=/(o),

wo Q nur von r und /o, sogar nur von r und einer Schranke fur \ p^ | hangt. Daraus folgen insbesondere die Abschatzungen

( b ) |/^Чо)|^А(Л), V=I, 2, ...,

wo auch Zv nur von einer Schranke fur \р^\ abhangen.

Ueber Q ist durch Hrn. Landau^) bekannt, daß es sich durch

( « ) Q[p,,r)^{A\p,\-YBy^r

abschätzen laßt, mit absoluten positiven Konstanten -Л, Д C\ ferner durch Hrn. Valtron, daß sogar

{ ß ) i2(A, r)^U(|Al + i))^

gilt fur eine gewisse absolute Konstante A, deren Wert nicht abgeschätzt wurde ^). Andererseits kann man mit einer elementaren (d. h. in diesem Falle nur algebraische Hilfsfunktionen benutzenden) Methode beweisen :

Fur I/o I = ^'^> d^o gilt

^ ) Vgl. den von Hrn. Landau herrührenden § 6 m der Abhandlung von Bohr und Landau, Gott. Nachr. 1910, pp 303—ЗЗ0, übrigens auch die Formel (54) in § 12 der Abhandlung von Hrn. Landau: Ueber den Picard'schen Satz. Vierteljahresschr. d. Zurch. Naturf. Ges 1906.

2 ) Vgl. G. Valiron, Bull. d. Sc. Math., Bd. 51 (1927).

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