Commentarii Mathematici Helvetici

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Strukturen auf Quotienten komplexer Räume

Klaus - Werner Wiegmann (München)

In seiner Arbeit [6] hat Cartan auf dem Quotienten XIR eines reduzierten plexen Raumes X nach einer eigentlichen Äquivalenzrelation R die Struktur x^l^ betrachtet und bewiesen, daß (XjR, x^l^) genau dann ein komplexer Raum ist, wenn XIR lokal-;^(P/i?-separabel ist (Main Theorem). Auch für komplexe Räume im Sinne von Grauert [9] läßt sich die Quotientenstruktur definieren (s. § 1) und ein tes Main Theorem beweisen (s. § 5). x^l^ ist gewissermaßen eine maximale lokal- geringte Struktur auf XIR.

In der vorliegenden Arbeit werden noch andere lokal-geringte Strukturen auf Quotienten komplexer Räume betrachtet, definiert z.B. durch holomorphe Funktionen und Abbildungen, sogenannte Spektralstrukturen (s. § 2) oder durch analytische Äquivalenzrelationen im Sinne von Holmann [13] (s. § 6). Ergebnisse sind u.a.:

( a ) Ein komplexer Raum ist genau dann lokal-holomorph-separabel, wenn eine holomorph-reguläre komplexe Unterstruktur mit gleicher globaler Funktionenalgebra existiert (s. § 3 und § 4).

( b ) Jeder schwach-holomorph-konvexe komplexe Raum ist holomorph-konvex (s. § 4).

( c ) Es sei {X, ^) ein komplexer Raum und ^ eine Garbe lokaler Unteralgebren von s^, Dann ist {X, ^) genau dann ein komplexer Raum, wenn ^{U) abgeschlossen in ^((7) ist für offenes UaX, und außerdem X lokal-^-separabel und lokal-^-regulär ist. Die angegebenen Bedingungen sind unabhängig (s. § 5).

( d ) Nicht alle komplexen Unterstrukturen auf einem komplexen Quotienten (XIR, ^IK) werden durch analytische Äquivalenzrelationen auf {X, ^) induziert.

Die Begriffe werden in § 0 definiert.

§0 . Vorbemerkungen

Ein geringt er Raum (Z, s^) besteht aus einem topologischen Raum X und einer Garbe j/ von Ringen (oder Algebren) auf X Ist M eine beliebige Teilmenge von X, so sei ^^ der induktive Limes der Schnitte s^{U) = r{U,s^) über alle offenen gebungen и von M in X. Ist M offen, so gilt s^^=sé{M). ^^: =^{x} beißt Halm. von J2/ im Punkte xeX. Die Elemente des Halmes werden Keime genannt.

Ein lokal-geringter Raum sei ein Paar (JST, eß/) bestehend aus einem topologischen Raum X und einer Garbe se auf X von lokalen C-Algebren j/^, xeX, das sind kom- niutative noethersche Algebren mit Eins über dem Körper der komplexen Zahlen, die genau ein maximales Ideal a^ besitzen; die Verkettung C-^sf^-^Js/Jux soll