Journal für die reine und angewandte Mathematik

288 2i. Cayletfy sept différents mémoires d'analyse.

Mo . 5.

Sur la transformation d'une fonction quadratique en elle même par des substitutions linéaires.

Il s'agit de trouver les transformations linéaires d'une fonction tique (0)(л^^y^ 2?...)^ ^^ ^^^^ même, c'est à dire de trouver pour {Xy y^z ...) des fonctions linéaires de x, y, z, ... telles que

( 0 ) ( x , y , z . . . f = (ôK^,r,^...f. En représentant la fonction quadratique par

( ofe y, «...)' =

a , h, g h, b, f

9^ f^ с

{ x , y , z . . . ) \

la solution qu'a donnée M. Hermite de ce problème peut être résumée dans la seule équation

(

a , h , g . . . hyby f... g,f,c...

- 1

a , h—v.g^fi... k-\-r, b, f—'l... 9—t^>f^K с ...

dp h\v,g—ii... h—Vy by fA^l ... 9\l^>f—h с ...

—1

üyhyg . . . hy by f... gyfyC...

) { XyyyZ . . . \

où l, fly Vy ... sont des quantités quelconques.

En effet, pour démontrer que cela est une solution, on n'a qu'à produire dans un ordre inverse le procédé de M. Hermite. En introduisant les quantités auxiliaires {§, ^> Ç.. O? on peut remplacer l'équation par les deux équations

tty hy g ... hy by f ...

g y fy с ...

\P^> Ур^ •*•) —

a ,

h .

9 ...

h .

h

f ...

9>

t •

•

с ...

{ pc , y , z ...) =

a .

h^v .

9—f^

h—v ,

b .

/ 4 - Я .

.

9 - \ - f^i f—^>

с

a ,

h—Vy

9\f^

h\v ,

b ,

f~l

9—f^>

f\K

С

.

{ § . пЛ - - )

{ ê , n>t . . )