Journal für die reine und angewandte Mathematik

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lieber eine Transformation der homogenen nen dritter Ordnung mit vier Veränderlichen.

( Von Herrn A. Clebsch zu Carlsnihe.)

жЖегг Steiner haï im 53'*^'' Bande dieses Journals, p. 139 eine Reihe von Sätzen angegeben, welche sich auf die von ihm Kernfläche der Oberfläche dritter Ordnung genannte Fläche beziehen. Diese Kernfläche ist, wie man leicht erkennt, nichts Anderes als die Hessesche Determinante; und unter diesem Gesichtspunkt zeigt es sich, dafs die gedachten Sätze der Ausdruck för die algebraische Transformation einer homogenen Function dritter Ordnung mit vier Veränderlichen in die Summe von fünf Guben ist, wobei dann gleich die Determinante eine überraschend einfache Gestalt gewinnt, und die angeführten Sätze von selbst sich ergeben. Wenn man ferner bemerkt, wie aus den Sfeinerschen Sätzen sich ergiebt, dafs jene Transformation nur auf eine einzige Weise geleistet werden kann, und dieselbe also nur auf eine Gleichung des fünften Grades zurückführen kann, so erhellt so^leicTi die innere Wichtigkeit dieses Transformationsproblems^ auch gegenüber den schönen vielfach angestellten Betrachtungen über die geraden Linien auf der Oberfläche dritter Ordnung, deren entsprechende Transformation auf vielfache Weise geleistet, werden kann, und von einer Gleichung des 27'*'^'' Grades abhängt. Ich werde zunächst den analytischen Weg angeben, der zu den Steinerschen Sätzen führen kann, und sodann die Bildung der Gleichung fünften Grades angeben^ welche zugleich über die Invarianten der betrachteten Functionen einige merkwürdige Andeutungen giebt.

1 .

Es sei u==^0 die Gleichung einer Oberfläche dritter Ordnung, auf homogene Coordiriaten bezogen. Sodann seien eben diese Goordinaten für einen Punkt der Oberfläche Xi^ o^^, ^з, x^^ für einen beliebigen andern Punkt Уп У2ь Уз9 У*- Legt man von dem Punkte у aus einen Berührungs^egel an Щ so ist die Bedingung dafür, dafs x auf der Berührungscurve liege, bekanntlich

( 1 . ) 2щу, = 0,

Journal für Mathematik Bd. LVIII. Heft 2. 15