Journal für die reine und angewandte Mathematik

PrimzahldifFerenzen *).

Von Walter Knödel in Wien.

1 . Emleitung. P. Erdös und A. Rényi haben 1949 die Abschätzung (1)

^Mof . < , „ - fJ ; <^^h^'«^^«^^

gegeben [1]. Dabei ist p^ die /г-te Primzahl (Pq = 2) und d^ = p^ — p^_^ für n ^ l; die Ci sind positive Konstante. Schmetterer und ich haben 1951 bemerkt, daß

1

dn dn+i zwischen den gleichen Größenordnungen liegt, deß also

( 2 )

^'3 1лгт2

log^ X

< 2;

Pn<^

1

1

< c,

^ 10g2 X

log log X

Ctfi (л^п + 1

gilt ; doch haben wir das Resultat nicht veröffentlicht. Im folgenden soll gezeigt werden:

Satz 1. Die Summen

1

und

S^ { x )

2

Pn< *

1

dn dfi+i

besitzen die gleiche Größenordnung:

( 3 )

1

1

dn d„+i

Die Beweise sind elementar und verwenden die Methode von Brun. Dabei ergibt sich als Nebenresultat

Satz 2. Die wahre Größenordnung çon

^ d '

wobei der Strich am Summenzeichen Summation über alle d^ ^ d^-u n^2 bedeutet^ ist

X

- <

log^a ;

, 1 X

* ) Vorgetragen auf der Spezialtagung für Zahlentheorie, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, В.—6. Januar 1955.