Mathematische Annalen

Paul SiicKBau. Lineare Scharea geodutiedher Hzdea. 501

Lineare Scharen geodätischer Linien.

Von Paîjl Stäckel in Kiel.

Untersuchungen über Meàumisâie Beeiehungm bei der Flächenäefor- mation haben Herrn Pinsterwalder zu dem schönen Satze geführt, dass eine jede krumme Fläche, bei der es vier lineare Scharen geocUUäsdber Linien giebt, d. h. bei der durch vier wesentiich verschiedene Нпшо« Grleichungen zwischen den Gauss'schen Coordinaten м, t?:

a^U + b^V = const. (х-1,8,8,*)

je СХЭ* geodätische Linien dargestellt werden, constantes Krümmimgsmass besitzt*). Der Beweis beruht darauf, dass die Differentialgleichung der geodätischen Linien:

dud * v — dvd^u 4- Ädu^ + Bdu^dv -f Cdudv* -f Dd^t?" — 0 mit den vier Gleichungen

a^du + b^dv'-'0 nur dann verträglich ist, wenn mau Д — В«—C—D — 0 hat, und daas die Differentialgleichung der geodätischen Linien von der Form

dud'v — dvd^u^O nach Beltrami für die Flächen von constantem Krummungsmaeee dierakfee- ristiseh ist.

Da man auf jeder krummen Fläche zwei lineare Scharen geodäMscher Linien и =-= const, und v =» const, erhält, indem mœa ab Coordinatenlinieii irgend zwei Schîuren von oo^ geodätischen Linien wШt, so entsteht die Frage, ob es Flächen giebt, bei denen drei, aber auch nur drei 8okh«r Scharen vorhanden sind. Is liess sich nun leicht zeigen, daee die Eo- tationsflächen ron variablem Erümmungsmass sowie die darauf abwickelbaren Flächen die verlangte Eigenschaft besitzen (und sogar auf unendlich viele

• ) Jahpresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. VI. Leipzig 1899. S. 50—61.