Mathematische Annalen

Mlatheinatische

Math Ann 256,51-62(1981) ДППа1С11

© Spnnger-Verlag 1981

Fermatquadrupel

Werner Meyer^ und Wolfram Neutsch^

1 Mathematisches Institut der Universität, Benngstrasse 1, D-5300 Bonn, Bundesrepubhk land

2 Institut fur Astrophysik und extraterrestrische Forschung, Auf dem Hügel 71, D-5300 Bonn, Bundesrepublik Deutschland

1 . Einführung

Bei der Berechnung der Picardzahl q{N) der Fermatfläche F^(iVGN) im sionalen komplexen projektiven Raum mit der Gleichung z^-}-Z2+z^ + z^ = 0 spielen die in der vorliegenden Untersuchung betrachteten "Fermatquadrupel" (4) eine besondere Rolle. Nach Hirzebruch u. Zagier [1] ist ^(N) = 1+( # g^). Diese Anzahl wurde für Primzahlen N durch Parry [3] in einem allgemeineren Zusammenhang ermittelt. Unter Benutzung des Nichtverschwindens Dirichlet- scher L-Reihen an der Stelle 1 bewies er, daß in diesem Falle lediglich die sogenannten "trivialen" Lösungen der Form (a, N-a, b, N-b) auftreten. Diese Quadrupel entsprechen den Geraden auf der Fermatfläche F^. In dieser Arbeit konstruieren wir einen elementaren Beweis für die genannte Aussage.

Neben den trivialen Lösungen fanden wir drei weitere Familien von quadrupeln („Standardquadrupel"), außerdem für 22 Werte von AT ^614 noch zusätzliche teilerfremde Lösungen („Ausnahmequadrupel"). Die letzte teilerfremde Ausnahmelösung im betrachteten Bereich erhielten wir für iV = 180.

Die Verteilung der bekannten Ausnahmelösungen (vgl. Tabelle 1) läßt ten, daß außer den genannten keine weiteren Fermatquadrupel existieren. Für den Spezialfall N = 2p, p Primzahl, wird die Vermutung in dieser Arbeit bewiesen. Verfemerungen der benutzten Verfahren sollten es ermöglichen, auch z.B. die Fälle N = 3p und iV = Primzahlpotenz zu behandeln.

Aufgrund des Zusammenhangs mit der Picardzahl stellt sich die Frage, welche Kurven auf F^ zu den nichttrivialen Fermatquadrupeln gehören. Dieses Problem bleibt einer späteren Untersuchung vorbehalten.

2 . Eine Vermutung über die Fermatquadrupel

Im folgenden sei stets : N eine natürliche Zahl,

i^^ = [0,iV)n2, (1)

G^ = {teR^;ggT{t,N)=l} (2)

0025 - 5831 /81 /0256/0051/$02.40