Mathematische Zeitschrift

Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen.

Von С Ksot in Greifswald.

Seit Lagbange ist bekannt, daß die reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades durch die Periodizität ihrer Kettenbruchentwicldung gekennzeichnet sind. Es ist vielfach vereucht worden, diese schöne Eigenschaft auf algebraische Zahlen höheren Grades zu übertragen, und es gibt manche Ergebnisse ra dieser Richtung. Stellt man die formale Einfachheit der Rechnung in den grund, wie das z. B. in der jAcoBischen Verallgemeiaerung der brüche i) geschieht, so ist es bisher noch nicht gelungen, die Frage nach der Periodizität dieser Entwicklung zu entscheiden. "Wenn man aber die Schärfe der Annäherung als erstes Erfordernis ansieht, wie dies unter anderem für H. Minkowskis Kriterium 2) gilt, so muß man die Periodizität und besonders die Einfachheit der Rechnungen aufgeben.

Die Periodizität bedingt eine gewisse Regelmäßigkeit in der Verteilung der Näherungsbrüche; darin werden wir die Grundlage unseres Kriteriums erblicken. Vorliegende Arbeit hat ihren Ausgangspunkt in früheren suchungen des Verfassers 3); eine vorbereitende Mote erschien in den Comptes Rendus der Akademie von Paris*). Es wurde aber nach Möglichkeit versucht, eine geschlossene Darstellung zu bringen und dem Leser die Kenntnisnahme früherer Originalarbeiten zu ersparen.

Wir bezeichnen durchweg mit Meinen lateimscTien Buchstaben ganze rationale Zahlen und mit Ci, 0^, ... geeignete, von n unabhängige positive feste Zahlen.

Zuerst wollen wir unser Kriterium an den Zahlen zweiten Grades erläutern. Es sei I eine reelle algebraische Zahl zweiten Grades. Aus der Periodizität der Kettenbruchentwicklung von | folgt das Vorhandensein von unendlich

vielen verschiedenen rationalen Näherungsbrüchen — , die folgende Eigen-

Schäften haben:

1 ) Jacobi, Jonm. f. reine u, angew. Math. 69 (1868), S. 39-64; Werbe 6, S. 385 -426.

2 ) Minkowski, Gott. Nachr. 1899, S. 64-88; Ges. Abh. 1, S. 293-315. 2) PISOT, Annali Sc. Norm. Ksa, Ser. 2, 7 (1938), S. 205-248.

^ ) PISOT, C. B. Akad. Paris 206 (1938), S. 1862-1864.