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SUR UNE NOUVELLE THÉORIE

un plan passant par l'axe parallèlement au plan par lequel est formé l'hyperbole AS, A'S'. Cette proposition, qui se déduit d une manière si simple de ce qui précède , a déjà été démontrée dans un Mémoire fort curieux de M^. le Commandeur de Nieuport (i).

Quand le sommet S du cône va se placer à une distance infinie sur fhyperbole , BS et B'S deviennent parallèles à l'asymptote Or, et le cône devient un cylindre. Chaque asymptote devient axe d'un cylindre, auquel appartient l'ellipse. On peut conclure de là que toute ellipse peut être considérée comme une section cylindrique. Le marquis de l'Hôpital, dans son Traité des sections coniques, emploie une longue démonstration pour prouver ce théorème.

FigureTi . Soit maintenant une parabole BS', et concevons par le grand axe BA^ un plan perpendiculaire, qui contienne une parabole AS, dont l'origine soit au foyer de la première et réciproquement dont le foyer soit à l'origine de la première; je dis que tout cône droit auquel appartient la première parabole a son sommet sur la seconde, et réciproquement. Cette proposition est également une conséquence de ce qui a été démontré pour la parabole.

Il est remarquable que dans toutes les constructions cédentes l'axe du cône est une tangente au point de la courbe sur lequel repose le sommet de ce cône.

On peut encore remarquer comment les propriétés de

l'ellipse se mêlent continuellement à celles de l'hyperbole :

FigureV par exemple, prenons un point S sur l'hyperbole, on sait

( i ) Voyw le i«r, YoL des nouveaux Mémoires de TAcad. de Bruxelles,