§ 47. Die elliptischen Transzendenten zweiter Gattung. 155

E ( v ) und Z{v) sind ungerade Funktionen des Arguments. Aus dem Additionstheorem der ©-Funktion [§ 43 (11)] ergibt sich durch logarithmische Differentiation:

( 9 ) Z(u + ^) + ^(^ — v) = 2 Z(u)-----------------—------------,

/ 1 . 4N ry/ i \ rz/ \ о V/\ 2x2sn2tf sn?;cn^;dnv

( 10 ) Z(u + ^) — Z(u — v) = 2 Z(v)----------------—-------------

\ j \ ^ ^ ^ ^ ^/ 1 — x^sn^usn^i;

Hierin kann Z auch durch J? ersetzt werden und durch Addition ergibt sich [§ 44 (16)]:

( 11 ) E[u) 4- E{y) — E{u -f- i;) = x2sntisnvsn(w -)- ^)- Hieraus erhält man die Periodeneigenschaften der Funktion

E { u ) ^ wenn man v = +^? К -\- гК' setzt. Man kommt aber auch auf folgendem Wege dazu.

Aus der ersten Gleichung § 43 (3) folgt:

Щт = Z(v + iE') +

Z 7t

und demnach aus § 43 (6) und § 42 (11):

Г7Г I -i^A w \ I cn^dnt; гя: ^ ' ^ ^ ^ ' sn^ 2K

( 12 )

^ , . , ^. ^, . x2snt;cn^; Ziv^K) =Z{v)------g^^p-,

und wenn man in der ersten dieser Formeln v = К setzt:

( 13 ) ZiK^iK') = -^.

Durch zweimalige Anwendung der Formeln (12) [mit sicht auf § 44 (18), (20)]:

Z ( v - [ - 2K ) = Z(v). Überträgt man diese Gleichungen auf die Funktion E(v), so folgt:

„ ^ , . T^,4 t:,, ч , cnwdnv , iEK' in

2K'

( 15 )

( 16 )

JUj\V

T ^^ )

л^уи ) -p

sn^

' К

E { v

+ K)

=

E { v ) +

J5 - ^

isnwcnv

dn«

E { v

+ 2;Z')

=

E { v ) +

2iEK' К

in

E { v

+ 2Z)

E { v ) ^

2E .