§ 94.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz.

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Dieser Ausdruck gilt aber allgemein. Denn sind nii und Wg relativ prim und ist

so ist

m = nil Ш2 = N (îTii Ш2).

Man kann also aus einer Darstellung von m^, m^ als Normen eine Darstellung von m als Norm ableiten. Ist umgekehrt

ш^Ша = iV(ni) = mm',

wo m, m' konjugierte Ideale sind, so muß, wenn m^ und m dur-ch ein Primideal p teilbar sind, mi auch (iurch p p' teilbar sein, also ist auch Wi = ^^(mi) und ebenso m^ = JV'(ttt2).

Demnach gilt, wenn m^ und mg relativ prim sind:

( 7 ) Ф (m^) ф (Ша) = Ф (^1 Ша).

Andererseits ist, wenn щ und П2 die Teiler von m^ und Ш2 durchlaufen,

und damit ist die Formel (6) allgemein nachgewiesen. Wir sprechen dies als Satz aus:

4 . Eine natürliche Zahl m kann in dem quadratischen Körper Sl mit der Grundzahl z/ auf

Z { ^ , n)

verschiedene Arten als Norm eines Ideals gestellt werden, wenn n die sämtlichen Teiler von m durchläuft.

§ 94. Das quadratische Beziprozitätsgesetz.

Aus der Zerlegung der Primzahlen im quadratischen Körper leitet Dedekind einen neuen Beweis des Reziprozitätsgesetzes der quadratischen Reste her^).

Nach Bd. II, § 16t, 3. ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß das in der Primzahl p aufgeh'ende ideal p (in irgend einem Körper Sl) vom ersten Grade sei, die, daß für Jede ganze Zahl о des Körpers ß

( 1 ) юР ^ œ (mod J)),

^ ) Dirichlet-Dedekind, Zahlentheorie, 4. Aufl. (S. 636,. Anm.).