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Sechzehnter Abschnitt.

• § 112.

worin m alle positiven ganzen Zahlen, die zu Q relativ prim sind, und n für jedes m die Teiler von m durchläuft.

Ordnen wir auf der rechten Seite von (2) nach n, so kommen für ein gegebenes n unter den m alle Vielfachen von n vor, und wir können auch setzen:

m и

( 3 ) и F (Na) = i:i:(^,n)F(mn),

worin jetzt m und w, voneinander unabhängig, alle natürlichen Zahlenwerte annehmen, die mit Q keinen Teiler gemein haben. Ist im besonderen F so beschaffen, daß

( 4 ) F(mn)= F{m)F{n) ist, so können wir (3) auch so darstellen:

a m n

( 5 ) Z!F{Na) = 2J F{m) H (z/, n) F{n),

Bei den Summen nach m und n sind die Zahlen geschlossen, die mit Q einen Teiler gemein haben.

Ebenso , sind auf der linken Seite die Ideale ausgeschlosseu, die zu Q nicht relativ prim sind.

Die Formel (5) können wir zunächst anwenden, um aus den Formeln des vorigen Paragraphen die Klassenzahl zu bestimmen. Man erhält auf diese Weise auch das Verhältnis der Klassenzahl im Körper zu der Klassenzahl nach der Ordnung [Ç]. Da wir dieses Verhältnis aber schon auf anderem Wege bestimmt haben (§ 100), so wollen wir uns hier auf die Klassenzahl des pers beschränken, d. h. wir wollen Ç = 1 setzen.

Setzen wir in (5) F(ß) = <0-*, so findet die vorausgesetzte unbedingte Konvergenz statt, solange s >> 1 ist. Multiplizieren wir aber mit s — 1 und lassen s in 1 übergehen, so können wir von § 111, (12) Gebrauch machen.

Diese Formel wenden wir in der ersten Fassung an, bei der m die zu Q teilerfremden Ideale der Klasse M durchläuft und r die Primfaktoren von Q bedeuten. Diese fallen also für ^ = 1 ganz weg, und m ist in der Summenformel:

keiner Beschränkung in bezug auf Teilbarkeit mehr worfen.