§ 151.

Die komplexe Multiplikation der Funktion p (w).

woraus :

( 7 )

X'2 ___ Z/ ^2

аЪ — bc =--------—^ — ^^' =z m,

wenn

( 8 )

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die zu /LI konjugierte Zahl des Körpers ^ ist.

Nehmen wir у von Null verschieden, so folgt aus (1) durch Multiplikation mit y\

Ъ ю^ -\- (et — (^) «2 »i — с œf = О, und dafür kann man auch schreiben:

( a coi -f- ^ ^2) G?2 = (c coi + 8 СЭ2) coi oder

с -\- д СЭ

( 9 ) « =

а -|- ^^

Nach (4) und (5) folgt aus (6):

( 10 ) а + боэ =r —J—^-----^—I-----^^- = ^i,

с -\- дсэ = ^оэ, oder in homogener Form:

fi09i = ao9i + &Ю2, /LI «2 = ^ 0^1 + 8 ^2 1

und durch Auflösung dieser linearen Gleichungen:

/ [ i'wi == dco^ — Ьсэ^,

^' Ю2 = — С coi -\- а о?2' Daraus ergibt sich, daß pi^^t) eine doppelt - periodische Funktion mit den Perioden oji, coa ist, und da sie außerdem eine gerade Funktion von и ist, so läßt sie sich rational durch p (u) darstellen (§ 21). Wenn wir also mit R und P ganze rationale Funktionen von p (u) ohne gemeinschaftlichen Teiler bezeichnen, so ist

( 13 ) ^(^^) = p-

Da der Quotient p {^u): p {u) für и = 0, d. h. für ^ (u) == qo, endlich bleibt, so ist der Grad von В um eine Einheit höher als der Grad des Nenners.