§ 173.

Diskriminanten .

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Ä ( 0 ) = о, (21) ^('^ == "'

s ( g + £') = s(0 + Ä(e')-

Alle Spuren sind rationale Funktionen von 0,

§ 173. Diskriminanten.

Ist (щу 7124 •••? ^n) = (^0 ein System von n Funktionen im Körper ß, so sind die n'^ Spuren 8(711^) rationale Funktionen von z. Wir definieren als Diskriminante des Systems (rji) die Determinante

( 1 ) ^ {Пи Ъ^ '"^ Пп) =

wofür wir auch kürzer ^ (fji) schreiben. Wir beweisen den Satz:

7 . Die Diskriminante ^(rji) ist dann und nur dann von Null verschieden, wenn (rji) eine Basis des Körpers Sl ist.

Nehmen wir, um ihn zu beweisen, zunächst an, daß ^ (rji) = 0 sei. Dann kann man nach einem elementaren satz die rationalen Funktionen j/^, t/2, ..., t/n, ohne daß sie alle Null sind, so bestimmen, daß

( 2 ) t/i S{yi^ rju) + J/2 ^5(^2 ^fc) H--------h Уп S (fin Vh) =

SiVkiViVi + У2Ъ -\--------h Уп^п)] = 0

{ le = 1, 2,..., n)

ist . Bedeutet x^ 0*2, ..., Xn ein beliebiges System rationaler Funktionen, und setzt man

/ 34 yiVi + 2/2^2 H--------h УпПп = Vi

so folgt aus (2) durch Multiplikation mit X}^ und Summation: (4) «(!»?) = 0.

Ist nun (i^j) eine Basis, so kann | jede beliebige Funktion in ß, also auch l/i^ sein, und dann gibt die Formel (4) das widersprechende Resultat S{\) = 0; also kann die Diskriminante einer Basis (i^,) nicht verschwinden.