Differenzen höherer Ordnung einer Funktion f {x). 03

Übrigens folgt aus den vorstehenden Darlegungen, daß unsere gabe nur in einer Weise lösbar ist. Jede die Aufgabe losende Funktion „ten Gi-ades f{x) ist nämlich in der Gestalt (3) darstellbar. Die zienten feû> &!• •••5 ^n sind dann, wie die ersie oder zweite Methode zeigt, notwendig in der Gestalt (5) durch die Werte /"(0), f{l). • • -,/'C'O eindeutig gegeben: Es gibt eine und nur eine ganze Funktion n^"'^ Grades f{x), die für n = 0, 1, '2, ■ • -, die {n 4-1) willkiirUch vorgeichrielenen Werte /"(0), f(l), /(2), •••, f(n) annimmt.

§ 11. Arithmetische Reihen höherer Ordnung.

Die letzten Darlegungen gestatten eine bemerkenswerte Anwendung auf die Lehre von den arithmetischen Reihen höherer Ordnung. In:

( 1 ) Mo, «1; M2, M3. •••

sei irgend eine Reihe unbegrenzt vieler Zahlen vorgelegt. Auf diese Reihe wenden wir die Differenzbildung in derselben Art an wie in § 10 auf die Funktionenreihe f{x), fix-\r 1), f{x +• 2), ••• Die zur Reihe (1) gehörende Reihe der Differenzen z:/, genauer der Differenzen erster Ordnung ^^^^. ist:

( 2 ) z/o =^ Wi—г<о- ^i = Щ—Щ, z/, =2 «3 — Wg, ••••

Wenden wir auf diese Reihe erneut die Differenzbildung an. so erhalten wir die zur Reihe (l) gehörende Reihe der Differenzen zweiter Ordnung:

( 3 ) /If^Zl^-^,, Z]f = Zl,-J,. Z^f = z/3-Z/2. •••

und finden in entsprechender Weise fortfahrend eine zu (1) gehörende Reihe von Differenzen n*^'^ Ordnung ^) :

\ z/W — ^(n - l; __ z/(«-J), Z/^,") = z/(« -1) — Z^'^" -«,

Wie in § 10 zeigt man leicht durch den Schluß der voll&tàndigen duktion als Darstellung der Diüerenz n^"^ Ordnung z/^"^ in den Gliedern der Reihe (1):

( 5 ) Z/J" = ^t„_ V — [?j ^'«--v-l — f 0 )"и-г»'-2----------r(— Ü'^Wv

Wir fanden soeben einer beliebigen Reihe (1) eindeutig die Reihen (2). (3) usw. der Differenzen erster und höherer Ordnung zugehörig. gekehrt folgt aus : ^

Uq ^z/q — л f ^2'i^^^+"ДГ-Г= и.,, daß nach irgendwie gegebener Reihe (2) der ersten Differenzen und frei gewähltem щ eine Reihe (1) eindeutig mitbestimmt ist. Da in derselben Art jede Reihe z^'-^-'^>, ^'^-'^\ z/<_^'-i\ ••• durch ihr Anfangsglied ^df-'^> und die folgende Reihe z:/^l Z}^\ z/^\ • • • bestimmt ist, so ergibt sich der Satz: Bei willkürlicher Auswald der Beihe der Differenzen w***" Ordnung

■ * ) Die oberen Indizes, die die Ordnung^-n anzeigen, sind hier eingeklammert, um die Verwechslung mit Potenzexponenten zu vermf^iden.