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I , 5- lioeare Transforœatîoaen.

gegeben , während für die Hessesche Determinante H einer beliebigeH Form f:

( 21 ) Л(х,,--,Хп)

ЪхГ

ôXidcc^'

dx^àxi' Эжа^'

àxi бхп

с Хо с Xjn

сЧ'

^2 /

СХ^ЪХх' СХпдх^' gilt und die erste Polare zu erklären ist durch :

дч_

dxl

1Ш

Ш - - - - - - r 2/2 ^— +

OXi 0X2

- by^

дхп

Alle diese Ausdrücke haben auch für beliebiges n invarianten Charakter. In den hier in Betracht kommenden Fällen ist dies aus den voraufgehenden Überlegungen unmittelbar einleuchtend. Die Funktionaldeterminante der n linearen Formen (7) ist nämlich einfach deren Determinante D, und ebenso ist die Hessescoe Determinante einer quadratischen Form gleich der mit 2" multiplizierten Diskriminante der Form. Endlich aber ist die erste Polare einer quadratischen Form die mit 2 multiplizierte zugehörige metrische Bilinearform.

§ 7. Rang einer quadratischen Form.

Ist die durch die Gleichungen (3), S. 148, gegebene Substitution S nicht singular, so lassen sich jene Gleichungen nach den х[, x'^, • • •, x'„ lösen (vgl. S. 77) und liefern:

( 1 ) x'jc = S-'^ia[j,Xi-\-cc'2icX2-{-••■+а'пьХп), Ъ — i, 2, ■•-, m, wo die all die zu den Elementen ttij^ der Determinante S gehörenden Komplemente sind. Diese Substitution (1) heißt zu S invers und möge durch S' bezeichnet werden j sie hat nach S. 66 die Determinante S"^ und ist also wieder nicht singular.

Es sei nun eine bilineare Form (11), S. 150, mit irgendwie gewählten Koeffizienten (Нь vorgelegt. Die Matrix b dieser n^ Elemente Щк heiße singxilär oder nicht-singular, je nachdem ihr Rang r <. n oder = n ist. Die auf die x auszuübende nicht-singuläre Substitution S liefert die formierte Form (12), S. 150, mit der Matrix b-ê, deren Elemente nach der Regel (9), S. 150, zu berechnen sind. Schreibt man eine (r -f- l)-reihige Determinante dieser Matrix b' = b • é an, so ist aus dem Gesetze (9), S- 150, ersichtlich, daß diese Determinante linear und homogen darstellbar ist in den (r-{-l)-ï"eîhigen Determinanten der aus den in Betracht kommenden (r -j- 1) Zeilen von b bestehenden Matrix. Diese letzteren Determinanten aber sind sämtlich gleich 0, da b den Rang r hat; also ist der Rang r' von b' = b-ê sicher ^ r. Nun wird die Form (12), S. 150, durch die in (1) gewonnene nicht-singuläre Substitution S' in die liche Form (11), S. 150, zurücktransformiert. Al^ ist der Rang r der