ÄbzählnDg der komplexen Wurzeln in einem Bereiche. 235

innere sei das Gebiet X_. Wir denken für die Kurve k^ eine darstellung: (8) x — l{t), y==^ii{t)

gegeben in der Art, daß wir k^ in der vorgeschriebenen Eichtung gerade einmal vollständig beschreiben, wenn t von — oo bis -f- oo läuft *). Dann ist nach der ersten Begel (17), S. 230, die Charakteristik gleich der AnzaM der Schnittpunkte von k^ und ky, in X_, d. h. gleich der Anzahl der Wurzeln von f(z) im vorgelegten Bereiche.

Andererseits können wir die Charakteristik К auch so darstellen:

- 2^ = S sg° (iX> ф])

und also durch eine allein längs der Kurve k^^ auszuführende Untersuchung berechnen. Wir gelangen zu dem Satze: Dte Anzahl der Wurzeln von f{z) im vorgelegten Bereiche ist gleich der Anzahl der im Gebiete *P'_i gelegenen Eintrittsstellen von k^in Ф_^, vermindert um die Anzahl der in 4^_i gelegenen Avätrittsstellen von k^ aus Ф^. Durch Einführung von t gelangt man an Stelle von k^ zur „reellen ;^-Achse", die mit wachsendem t zu durchlaufen ist. Hier hat man dann zunächst durch Anwendung früherer Regeln die Lage der reellen Wurzeln der Funktion ф (Я (t), ^ (t)\ und bei der einzelnen Wurzel die Vorzeichen der Funktion ф(^ХЦ), ^(t)j und der Ableitung von (p(X(t), ll(t)) nach t festzustellen.

§ 7. Weitere Sätze von Hurwitz.

Hurwitz hat, angeregt durch ein technisches Problem in der S. 221 genannten Arbeit, die Frage beantwortet, wann eine reelle Gleichung ^^ten Grades :

( 1 ) fiz) = ao^'^+ai0«-^ + a2^«-2 4-... + a„ = 0,

in der wir etwa tto > 0 voraussetzen, ausschließlich Wurzeln mit negativen reellen Bestandteilen besitzt.

Wir ziehen den S. 87 eingeführten Kreis des Radius It um den punkt der ^-Ebene heran, innerhalb dessen alle Wurzeln von f(z) liegen. Im vorliegenden Falle sollen sie insbesondere innerhalb des durch die ginäre Achse abgetrennten, links von dieser gelegenen Halbkreises liegen. Dieser Bereich möge als Bereich X_ gewählt werden und also sein Rand, der aus einem H^lbkrejse und einem Stücke der imaginären Achse besteht, die Kurve k^ sein. Die Funktion f(z) sei nötigenfalls durch Abtrennung ihres größten gemeinsamen Teilers mit f {z) wieder so hergerichtet, daß sie keine mehrfache Wurzeln hat Die Gleichung (1) wird stets und nur

* ) Ist 2. B. die Kurve k;^ ein Kreis des Radius r um den Punkt der naten X ^= a, у z= ß, so setze man:

. tJm eine solche Darstellang zu erzielen.