Partielle Differentialgleichungen mit intermediäron Integralen. 2l9

eine Art von Brennfläche der Congruenz der oo^ genannten paare (16) anzusehen ist, — ist die der Fläche als zweifacher Eleraenten- mannigfaltigkeit entsprechende Figur*).

Das Gleichungspaar (16) bestimmt als Ort der zugehörenden Büschel von (rst), gegeben durch die Gleichungen (11), eine gewisse Congruenz des Complexes (14). Alle Gleichungen 2. ü. in {sxy)j die durch formation, vermittelst (16), aus den partiellen Differentialgleichungen 1. 0. in {ZX.Y) entspringen, repräsentiren in R^ Liuienflächen, die dieser Congruenz angehören.

II .

Die eben besprochenen Flächentransformationen, die zu partiellen Difterentialgleichungen höherer Ordnung mit intermediären Integralen geführt haben, geben gleichzeitig das Mittel zur Darstellung dieser intermediären Lösungen durch partielle Differentialgleichungen niederer Ordnung. Dies ist schon in dem Vorangehenden bemerkt worden. Hier will ich aber zeigen, erstens wie man bei einer vorgelegten chung prüfen kann, ob sie intemediäre erste Integrale zugiebt, oder nicht; zweitens, wie man, im Falle ihrer Existenz, dieselben immer herzuleiten vermag. Hierbei soll keine zugehörige Flächentransformation als geben vorausgesetzt werden; auch existirt keine solche Transformation, die die Gleichung als Resultat der Transformation einer Gleichung niederer Ordnung"^*) darstellte, falls jene nicht intermediäre erste tegrale sur grösstmöglichm ЛптМ besitzt. Ich fange mit der lung derjenigen partiellen Differentialgleichungen 2. 0. des Raumes mit drei Dimensionen an, die oo^ erste Integrale gestatten.

§4 .

Ueber partielle Differentialgleiclmngeii 2. 0. mit intermediären Integralen des Raumes mit drei Dimensionen.

25 . Eine partielle Differentialgleichung 2. 0., die oo'^ erste grale besitzt:

( 17 ) . f\^xyijql)=-ii,

* ) Zwei Gleichungen X = f{zxypqZ), Г=Ф( )

lassen der Ebene Z = с eine partielle Differentialgleichung 2. 0. der Form sprechen :

J . r + I>'6' + Üt-\-l){rt~s^) + E==0,

wo Л, B, ü, 1), E Functionen von x, y, ä, p, q sind. Diese Gleichung hat zwei erste Integrale f=c, <p = c", entsprechend den Linien X=c\ Y=c". Einer beliebigen Curve 'ф (XY) = 0 der Ebene Z = c entspricht das Integral 1р(/-ф)=*0.

* * ) Die ihre Lösung in die Lösung der angenommenen Gleichung überführte.