Ueber AbeTsche Integrale.

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oder , mit anderen Worten, Uns ^- ist durch das folgende Symbol geben :

111 , 0 0 1.

§4 .

Die hyperelliptische Curve. Bestimmung der Charakteristiken und des ausgezeichneten Kegelschnitts.

Ich werde jetzt die bisher betrachtete Curve vierter Ordnuno- in einen doppeltzählenden Kegelschnitt überführen und an ihm die noch fehlende ßestimraung der Charakteristiken der 24 Doppeltano-euteu zweiter Art und des ausgezeichneten Berührungskegelschnittcs führen. Zu dem Zwecke sollen p, q, r, s die vier Doppeltangenten erster Art bedeuten, Q = 0 sei der Kegelschnitt, welcher durch ihre acht Berührungspunkte hindurchgeht. So kann man die Gleichung der sprünglichen Curve in die Form setzen:

q ) = Q'^ — Xpqrs = 0. In ihr betrachte man Я als einen Parameter, den man allmählich zu Null werden lässt. Die Curve vierter Ordnung geht dann in ter Weise in diejenigen vier, doppelt zu zählenden, Segmente von Q = 0 über, welche bez. durch p, g, r, s abgeschnitten werden, wie i^^ig. 3 erläutert.

Die 28 Doppeltangenten der C^ verwandeln sich dabei, ohne stimmt zu werden, in die 28 Verbindungsgeraden der 8 Scheitel (der 8Seg- ment-Endigungen), welche Q trägt. Ich лvill annehmen, dass der Punkt ^ während des Grenzüberganges fortwährend die besondere Lage behalten habe, w^elche wir ihm soeben (§ 3.) ertheilten. Dann ist er schliesslich in einen der beiden Grenzpunkte des Segmentes IV gegangen (vergl. die ^^'щ.), während cc, ß in den anderen Grenzpunkt desselben Segmentes zusammenfallen. Die berührenden Kegelschnitte, die wir zu construiren haben, gehen dann also durch diesen Scheitel cc у ß hindurch und berühren in ihm die Doppeltangente IV. sondere die acht Kegelschnitte der ausgezeichneten Gruppe, sind ihrer Lage nach leicht völlig zu bestimmen. Offenbar sind sie in diejenigen acht Kegelschnitte der genannten Eigenschaft übergegangen, welche von den begrenzenden Scheiteln der Segmente I, II, III je einen enthalten.

Betrachten wir jetzt die längs der Curve erstreckten überall lichen Integrale. Man kann dieselben, indem man den constanteu Praetor 2j/l im Zähler zusetzt, folgendermassen schreiben:

' " 2 Vi -icxdx' ■ «,. /" 2 Ух ■ 1 cxdx ! • «^

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