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sind gleichzeitig Kegelspitzen des Netzes. Sind nun ccßyd, wie bisher, die Spitzen der in dem Büschel q^^ ==0, r^^ = 0 enthaltenen Kegel, so erhält man die Bedingung, unter der sich die conjugirten Geraden zweier derselben, z. B. cc und ß treffen, durch Ehmination von ^i^ x^, x^, x^ aus den vier Gleichungen paPx-^ 0, Qa^x -0, p^^Px -^-y Я-С^Я.^^^ zunächst in der Gestalt: Paq.al\iq.,i{pqpq) 0. Multiplicirt num diese Gleichung mit der im Allgemeinen nicht verschwindenden Determinante [aßyd) und benutzt die in § 3. abgeleitete Gleichung (4''):

so wird, da qJ-=0 als ohne Doppelpunkt vorausgesetzt werden darf, jene Bedingung identisch mit 2')a2\i {PyPô'~PôPy) "^ ^ ^^^^^ auch:

iPctPii' - pßpa ) {prP^'-PoPy) = 0.

Aus dieser für das Treffen der conjugirten Geraden von cc und ß nothwendigen und hinreichenden Bedingung ergiebt sich für das gemeine Netz beiläufig der Satz: Schneiden sich die conjugirten Geraden zweier Kegelspitzen, so treffen sich auch die coujugirten Geraden jenigen zwei Kegelspitzen, die mit jenen zusammen ein Quadrupel bilden. Unter Quadnipel sollen nämlich vier Kegelspitzen des Netzes verstanden werden, die einem seiner Büschel angehören.

Das obige Resultat lässt sich daher nun dahin interpretiren : füllt ein Flächennet^ zweiter Ordnung/ die durch Л = 0 dargestellte dingung, und treffen sich zwei von den den FunMen eines Quadrupels girten Geraden, so liegen überhaupt sämmtliche, den Punkten dieses drupels conjugirte Geraden In ein und derselben Ebene.

Mit Hülfe dieses Satzes wird es nun leicht sein, die Existenz nicht blos einer, sondern unendlich vieler Pentaeder, die den Flächen des der Bedingung Л == 0 unterworfenen Netzes gemeinsam sind, weisen. Es ist von vornherein klar, dass die Ecken eines solchen Kegelspitzen sein müssen ^ denn nur diese besitzen die den ecken nothwendig zukommende Eigenschaft, dass ihre Pplarebenen in Bezug auf alle Flächen des Netzes eine Gerade gemein haben.

Zuvörderst sollen nun einige Sätze über die Kegelspitzen eines allgemeinen Netzes vorausgeschickt werden*). Aus einer ganz allo-e- meiuen, algebraischen Betrachtung wird leicht klar, dass von einem liebigen Punkte der Kegelspitzencurve Cq und überhaupt jeder Raum- curve eine endliche Anzahl von Geraden möglich ist, die sie ausserdem noch in zwei Punkten trelieu. Seien daher a, ß, у drei in einer G*e- raden liegende Kegelspitzen des durch p^"^ = 0, g^.'^ = 0, r^'^ == 0 de- iinirten Netzes und zwar — wie, ohne der Allgemeinheit Eintrag zu

* ) Vgl. Sturm, über das Flächennetz zweiter Ordnung; Borch. J. Bd 70 p. 212—240. ' " ' '