Partielle Differentialgleichungen.

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wir zu partiellen Differentialgleichungen 2. 0. eines Raumes von w + ^ Dimensionen gelangen, für welche nicht nur, wie immer, ristische Mn-i, sondern auch charakteristische Ж„_2, M„S} etc. exi- stiren. — Als Beispiel einer partiellen Differentialgleichung der 2. 0., die charakteristische Mk zu einer solchen Zahl besitzt, dass dadurch alle Elemente (zXiPiPik) der Gleichung erschöpft werden, können wir diejenige betrachten, die aus dem involutorischen Gleichuugssysteme:

fi ( 0 , Xi,- ■ • Xn,Pi, ' ' •PnyCi,C.^,' ' • Cy) = c,

f - A ) = ^"'

wo

[ / ; . « = 0 und г.==^-'^"-/-+" -1. -

durch vollständige Differentiation in Bezug auf ж,, • • • й;„ und nach- heriffe Elimination der willkürlichen Constanten с entsteht. — Die charakteristischen Mt jenes involutorischen Gleichungssystenis werden nämlich eben Charakteristiken der in der genannten Weise resul- tireuden partiellen Differentialgleichung 2. 0.

Aber es gilt weiter noch der Satz, dass jede Integral-M„ dieser Gleichung 2. 0. eine sie ganz bedeckende Schaar von charakteristischen Ml enthält.

Ich beweise im Folgenden diesen Satz für den Fall м = 3, А* == 2; der allgemeine Beweis kann analog geführt werden.

Wir betrachten eine partielle Differentialgleichung 2. 0., die aus den beiden Gleichungen

] {ZyX^, x^) x.^^p^.,p.^^p-^^c^, c.2iC.^, c^) = с j

wo [/•ç)]=0,

durch Differentiation nach л;,, x<^, x^ und Elimination der willkürlichen Constanten с entsteht, und weiter irgend eine Integral-Ж^ derselben. Ein Element {z Xi pi Pik) dieser M^ führt zu einem ganz bestimmten Gleichungspaare :

f { z , ж,, X.,, а^з, _29,, p.,, Pi, с,", с,", Сз'\ ^4") = Со',

ф ( ) = ^u"j

dessen Gleichungen*) das Element enthalten; — und alle oo^ Elemente i^^iPiPik) der Ж3 bestimmen somit eine dreifache Schaar von chungspaaren :

* ) Mit ihren ersten Derivirten in Bezug auf iCj,a*2, x^ vereint.

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