Reduction Abel'scher Integrale.

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und da vermöge der obigen Bestimmungsgleichungen für a die drei Relationen zwischen den Transformationseoefficienten gelten müssen

m { r - \ - S ) ^ _ ;| Q ^ W^ ^ ^

rs'—r's ' ' ' rS —TS '

so folgt leicht, dass die '9'-MQduln in den drei in Frage kommenden Fällen die beiden verschiedenen Formen haben werden

r — s' , m ,/—5 , 2r , 2m ,/----r-

Beachtet man ferner, dass, wenn zwei Gleichungen von der Form

^t _ .. dz , dt> _ dzi ,. — cc ,. una -7------- == a _.------

V^iti Vcfiz) Кф,(г:,) Vtpdzo

zu gleicher Zeit bestehen, die entsprechenden Periodenbeziehungen

mco = ara -f- asa , m^ со, = ar^ сэ, -f- а5,сэ/ zwischen den •O'-Moduln

die Beziehung' liefern

2ш /

w , ST + 2(rmi—rj»»)

und jeder linearen Beziehung zwischen -O'-Moduln auch wirklich eine algebraische Transformation entspricht, so wird immer, wenn haupt eine Reduction auf elliptische Integrale möglich, diese Reduction auch auf die Integrale

/ ' dz r dz r^^^—^L Г ^y ^ С ^^

ausführbar sein, und es folgt somit der Satz,

dass wenn ein Abel'sches Fundamentalintegral erstem- Gattung von der Form

jQ^p^dx

auf ein elliptisches Integral redu^irbar sein soll, dies nur für w==2,3,4,6 der Fall sein liann, und zwar werden für w=3,4,6 die beiden einzigen Formen der redudrten elliptischen Integrale

/ ' dz , r dz

Vz^'^ ™ J y^^^i

sein . Es wird sich jetzt darum handeln, die Form aller jener reducir- baren Аbel'schen Integrale festzustellen und die Transformationen zugeben, welche diese Reduction leisten — eine Aufgabe, die ständig gelöst werden soll für den Fall, dass Q^ und p algebraische

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