Zur Variationsrechnung.

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lieber den Hanptgrnndsatz der VariationsrecliBimg.

8 . Besondere Bestimmung der Variation X(x) und Formnlirnng des Hanpt- gmndsatzes im Falle die Function F'(cc) Stetigkeitseigenschaften hat.

Wir dürfen nicht, wie in der Variationsrechnung geschieht, aus (IV) Cdxl(x)F'ix)==0

Xa

sogleich schliessen F'(x) =0. Man kann dies ohne Zweifel ihren Hauptgrundsatz nennen, es müssen jedoch die Bedingungen seiner keit sorgfältig untersucht werden. Wir setzen zuerst schaften der Function F' (x) voraus.

Um die Formel (IV) alsdann discutiren zu können, ist es mässig, in besonderer Weise über die Variation Я (ж) zu verfügen.

Ich habe schon von einer solchen Bestimmungsweise der lichen Function X(x) Gebrauch gemacht, bei der sie bis auf gewisse Strecken Null und dennoch stetig ist. Dergleichen Functionen lassen sich auf mannigfache Art construiren. Zwei solche Constructions- methoden werde ich hier mittheilen, deren erste eine so beschaffene tion ergiebt, dass sie mit einer beliebigen Anzahl Differentialquotienten stetig ist, während die zweite Functionen liefert, die mit allen ihren Differentialquotienten stetig sind, und die, weil sie sich beliebig nahe an polygonale Linien anschliessen, in allen Theilen der rechnung sich gut verwenden lassen, indem man sie namentlich auch leicht als Flächenvariationen darstellen kann.

Nach der ersten Constructionsmethode nehmen wir zwei Argument- werthe а und ß an, die der Ungleichheit

а <a < ß <Ъ genügen, und bestimmen X(x) so:

für а -^x <. cc ist Я (ic) = 0, für ß<x^b ist X(x) = 0, für a£x^ ß ist X(x) = [(x—a) (b — a;)]»+i.

A . lsdann ist X{x) im Intervall а und Ъ nirgends negativ und sammt seinen n ersten Differentialquotienten stetig. Die Gleichung

fdxl ( x ) F' { x ) = 0 ergißbt also: