Problem der räumlichen Projeetivität.

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Ai geht, so muss ß' gerade die diesen nicht homologen Bi enthalten; ausserdem muss a durch A,ß' durch В gehen. Ebenso müssen die singulären Punkte A', B' der zweiten Projeetivität zusammen in 3 Grundebenen liegen, A' überdies in a. Wir verbinden demnach А mit zweien der Punkte Ai, z. B. mit A^,A^ durch ß'; а а ist dann a\ ferner /3' ist BB^B^] im Büschel {B, ß') ziehen wir Ъ so, dass sie die Schnittlinie zweier der Ebenen ßi, z. B. ß^ß2 trifft; der Begegnuugs- punkt ist B, der andere singulare Punkt A.' ist der Punkt aa^. Es

erhellt , dass es hierbei -^ •4-3 ><^*3-2=]8 Combinationen giebt; also ist T == 18.

Als zweites Beispiel wähle ich die Projectivitätsbedingung [44] mit der Lagenbedingung %&« (No. 17.). Grundelemente sind:

A ^2 ^3 Л «1 ^2 «3 «4

- ^1 ^2 ^i -^4 ßi ßi ß^ ßi ;

ausserdem soll а einem Bündel A, Ъ einem Felde ß angehören.

Wir ziehen die Gerade а aus A, so dass sie eine linie zweier ^г, z. В. A^A.^, und eine Schnittlinie zweier «,-, etwa cc^a^ trifft; so ist die singulare Ebene а die Ebene (а^А^А.^), der singulare Punkt A' der Punkt (a,a^a^), ß' muss demnach B^, B^ enthalten, B' auf ß^ßi liegen; Ъ muss in ß' liegen, B' enthalten und sich noch in ß befinden ; sie ist also die Gerade in ß, welche Д, B^ und /So ß^ trifft, und erzeugt mit der ersteren die Ebene ß', mit der letzteren den Punkt J3'. Dies giebt 6x6 = 36 Combinationen.

Zweitens ziehe man a von A nach dem Schnittpunkte dreier Ebenen лг», z. B. nach a^a2cc^, der dann A' ist; а als durch sie gehende Ebene kann nun höchstens einen der Punkte Ai enthalten, etwa A^-^ es muss demnach ß' durch B.^, B^, B^ gehen, wodurch sie bestimmt ist; ihr Schnitt mit ß ist Ъ und deren Schnitt mit ß^ ist B'. Dies giebt 4 >< 4 = 16 Combinationen. Andere Weisen, zweifach ausgeartete Projectivitäten zu erhalten, sind nicht möglich. Also ist r = 52.

22 . Bei den Signaturen von 6=7 bis а == 10 können associirte Geraden sich vereinigen, und es entsteht dann die Frage nach der Vertheilung der Geraden c, bei welchen sowohl die nach den PunTiten Ai und Bi gehenden Ebenenbüschel projectiv sind, als aueh die durch die Ebenen cci, ßi entstehenden PunMreihen. Die einfachste Weise, diese Vertheilung zu ermitteln, ist, nach dem Vorgang des Herrn Schubert, dessen Correspondenzprincipien für Strahlen anzuwenden (Math. Ann. X, S. 68, 69). Er hat selbst schon (S. 89) für die Signaturen [Je 3J, die ich in „R. P.'^ behandelt habe, die Berechnung gemacht und meine auf umständlicherem Wege gefundenen Resultate bestätigt; ich begnüge mich, die BesuUate der einfachen Berechnung für alle Signaturen mitzutheilen.

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