576 P. »D Bois-Retmond. Zur Variationsrechnung.

gesetzt . Es bleibt eben nur noch diese eine übrig, dass «/W, statt dass sie nur integrirbar zu sein braucht, stetig sein muss. Dies ist nun, ich wiederhole es, im Allgemeinen eine wirkliche Beschränkung, die, wie aus dem Problem über die kürzeste Linie folgt, durchaus nicht im ursprünglichen Problem ihren Grund findet.

Das Verfahren, welches diente (Art. 14.), um diese Beschränkung bei der kürzesten Linie aufzuheben, gestattet zwar keine vollständige Verallgemeinerung. Ich glaube aber, dass es sich ausdehnen lässt auf eine Classe von Problemen, bei denen die Differentialgleichung eine sofortige erste Integration zulässt.

So würden denn doch einige der classiscfaen Aufgaben, die man seit Erscheinen des Methodus inveniendi...in den Büchei'n findet, und die mit seltener Vollständigkeit und Eleganz in Herrn Lindelöffs vortrefflichem Werke behandelt sind, eine vom Standpunkte der Func- tionentheorie aus völlig strenge und allgemeine Lösung zulassen, worauf ich zurückzukommen beabsichtige.

Das allgemeine Ergebniss unserer bisherigen Untersuchung über die Tragweite der Variationsrechnung ist also dieses:

Erstens darf man von ihr nicht verlangen, dass sie ein Extremum inter omnes liefere. Sie ergiebt nur ein Extremum inter propinquas, unter diesen aber meistens ein Extremum extremorum. Der Schluss vom Extremum der Variationsrechnung auf das Extremum inter omnes heischt eine besondere in der Methode nicht vorgesehene Begründung.

Zweitens , und dies ist ein — nicht wie der vorige eigentlich der Aufgabe, sondern wirklich — der Methode anhaftender Mangel, fügt die Variationsrechnung zu den hinsichtlich der Stetigkeitsverhältnisse der gesuchten Function nothwendigen Beschränkungen solche hinzu, welche die Aufgabe offenbar nicht verlangt, und die wir im Obigen auf ihr geringstes Maass, das aber nicht Null ist, zurückgeführt zu haben glauben.

Fr ei bur g i. В., im September 1879.