Propriétés métriques des courbes gauches. 51

Or les divers coefficients de A^A^ • ■ • A],^i sont nuls par thèse. A]c est égal comme on le voit facilement à -^-^5------j^----, il

est différent de 0 si nous avons affaire à un point non singulier, donc:

( 28 ) Я, = 0, Я, = Л,, .., Я,+, = В, (4^ + ^J--^ j .

h==2 , ? > • • • n — \

A un point ЖI de la courbe correspondent donc en général n — 1 points M^M^ • ■ • Mp • • • Mn'-) le point Mp est donné par les formules:

Xi --- Жг = Я, «ij -f- Я2 «2» + • • • + ^p(^pi

où on donne aux Я les valeurs définies par les relations (28). Le point Mp est situé dans l'espace linéaire à p dimensions osculateurs en Jfj et les points Mp-i • ■ • Ж2, Ж1 constituent ses projections sur les espaces linéaires osculateurs en M^ h p — 1, • • •, 2, 1 dimensions.

p -\- l points consécutifs de la courbe déterminent en général un espace sphérique h p — 1 dimensions qui est contenu dans l'espace linéaire osculateur à p dimensions. Le calcul des coordonnées du centre de ces différents espaces sphériques osculateurs est précisément celui que nous avons fait pour déterminer M^M^ • • • Ж„. La distance Qp du point Mp au point M^ ou rayon de l'espace sphérique osculateur Ü. p — 1 dimensions résulte des formules précédentes

( 29 ) ()/ = Я,2 + Я^^ H---------h Xp\

Les mêmes formules nous permettent de déterminer l'arc de la courbe lieu de Mp. En dérivant par rapport à s, et tenant compte des relations (23) et (28) on a

( 30 ) d'où

( 31 ) Ш---^-^ .= .,2...«-!,

et pour p =■ n on trouve simplement

dX . f dl„ l^

( 32 ) 1йГ=''-'Ы- + Д

d^où

( 33 ) \„l) = {-^ +

" ti - l

L'expression (30) peut s'écrire

^lX^ dœ ( \

4 *