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II . Wkdkk.

zwischen den Wurzeln einer Gleichung erhalten bleibt, wenn man irgend eine Substitution der Gruppe dieser Gleichung auf dieselbe an- лvendet; also:

was nach §1,3. nicht möglich ist.

2 . Ist G irgend eine in (3' enthaltene Substitution, durch welche das vollständige Siebenersystem |,, ^j, . . ., ^^ übergeht in das ständige System 1/, I2', • • . > I7' so kann mau die Substitution G auf die Relationen (4) § 1 anwenden, wodurch die Veränderungen bestimmt sind, welche die übrigen Wurzeln durch G erfahren. Diese änderungen sind aber dieselben wie in derjenigen Substitution aus ©, welche |,, l^? • • •> ^7 überführt in |,', ^2') • • -■> h'> woraus folgt, dass G in (3 enthalten ist.

Jede Substitution aus &' ist also zugleich in (i) enthalten.

3 . Drückt man in irgend einer rationalen Relation zwischen den Wurzeln der Doppeltangentengleichung:

Ф ( ^ , , ii, .. ., ^7, §1.2, . . ., a,, a^, . . ., «ij) = 0 zunächst die ^t^x durch die Formeln (4) und hierauf nach (5) die «^ durch I,, . . ., I;, 0j, . . ., ©7 aus, so muss diese Relation in eine tität übergehen, da die 14 Grössen |,, . . ., §7, 0,, . . ., ©7 ganz liebig gewählt werden können. Daraus folgt aber, dass auf jede solche Relation die sämmtlichen Substitutionen von (^ angewandt лverden dürfen. Insbesondere muss also jede Function der Wurzeln, welche im Rationalitätsbereich enthalten ist, durch die sämmtlichen Substitutionen von (3 ungeändert bleiben, woraus hervorgeht, dass jede in (3 enthaltene Substitution zugleich in (3' vorkommt, womit der suchte Beweis vollendet ist.*)

Da man zwei und nicht mehr Charakteristiken eines vollständigen Siebenersystems beliebig wählen kann, so ist hiernach die Gruppe der Doppeltangentengleichung zweifach transitiv.

§3 .

Wir suchen nun zunächst eine übersichtliche Darstellung und zeichnung der Substitutionen dieser Gruppe zu gewinnen.

Wenn man zunächst diejenigen unter den Substitutionen (3 greift, welche das vollständige Siebenersystem |j, l,? • • •» 1? ^^ Ganzen ungeändert lassen, und nur seine Elemente unter einander vertauschen, so erhält man eine Gruppe von 17(7) Substitutionen, welche ganz in (3 enthalten ist, welche sich eindeutig beziehen lässt auf die Gruppe

____^ 31 = Л, -^1. Л' • • •

* ) Vgl. Serrot, Algèbre sup. (31"= Aufl.) II, p. 6J1.