Differentialgleichungen 3. Ordnung. 59|

Was jetzt die Lösung unserer Differentialgleichung (l) auf Grund der hiermit entwickelten Formeln angeht, so denke man sich eine Reihenfolge von Punkten 2!q, 0,, ^fj, . . ., ■s^v? • • .» ^n fixirt, die wir allmählich unter Festhaltuug der Endpunkte immer dichter werden lassen, indem wir n grösser und grösser nehmen. Sei Aq{8) eine liebige lineare Function von 0, von der wir annehmen, dass sie im Punkte ^ == ^0 die zu berechnende î^-Function osculirt, eine Annahme, welche die drei willkürlichen Constanten fixirt, die in der allgemeinen Lösung von (1) enthalten sind. Dann haben wir der Reihe nach vermöge (6):

( 13 )

schliesslich ;

( 14 ) Än(0) = Aq • So,i ■ 'S'1,2 • • • Sn-i,n,

oder auch, indem wir n unendlich werden lassen und also die einzelnen Uebergangssubstitutionen Ä,r4-i durch die infinitesimalen Sy ersetzen:

( 15 ) Ar,(0) = A,-S,-S,-S,"-Sn.

( lim n = oc) Dies ist die gesuchte Lösung. Denn unsere Formel lUsst uns An{z), jene lineare Function, welche tj an einer beliebig vorgegebenen Stelle 8 =^ Zn osculirt, aus dem willkürlich angenommenen, auf n = z^■, he- züglichen ^0 (^) > durch Aneinanderreihung von unendlich vielen lich kleinen linearen Transformationen berechnen.

Ich komme nicht noch einmal auf den Vergleich dieser Formel mit der Begriffsbestimmung des bestimmten Integrals, der auf der üand liegt, zurück. So wie man den Integrations weg im complexen Gebiete in hohem Maasse abändern kann, ohne den Werth des grals zu ändern, so in (15) die Reihenfolge der zwischen 0q und 0„ eingeschalteten Punkte. Und wie das Integral über einen geschlossenen Weg erstreckt einen Periodicitätsmodul liefert, so Formel (15) die auf unsere ■»^-Function bezügliche, dem geschlossenen Wege sprechende charakteristische lineare Substitution.

Was die Convergent unseres Verfahrens angeht, so braucht selbe kaum besonders erläutert zu werden. Denn materiell unterscheidet sich unser Verfahren nur unwesentlich von dem gewöhnlichen, eine Differentialgleichung dritter Ordnung zu integriren. Indem wir aus Av vermittelst der üebergangssubstitution 'S^ das A^+i berechnen, reichen wir ja, von Termen höherer Ordnung in diZy abgesehen, mal dasselbe, als wenn wir den Formeln (8) entsprechend 1^^4.1 = i^y -|- rfy . dZy, i^'^.+i = ?jv -f- rfv • dzy, i^r+i = T]'y -|- Yr' • dZy