Transform ationsgr uppen.
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§2 .
Die einzelnen Gruppen der einÊacben Mannigfaltigkeit.
5 . Zunächst wenden wir uns dazu, alle unendlichen Griffen von infimtesimalen Transformationen
ZU bestimmen.
Die allgemeine infinitesimale Transformation einer solchen Gruppe hat die Form:
^ / " ^ 9» 1^ + Ы<^)<р + %(«) Ф' + • • • + ««(«З^^^О j^^
wo die Coeffieienten Functionen von а sind aber keine willkürlichen
Constanten enthalten. Führeu wir für die infinitesimale Transformation
я f иг -к— allgemein das Symbol Ätf ein, so erhalten wir:
0
Eine andere infinitesimale Transformation der Gruppe sei
0
Wir bilden nun die Transformation (X 7) oder wie wir in Zukunft kurz sagen wollen: wir combiniren die beiden Transformationen Xf und Yf mit einander. Die Transformation (X Y) muss dann wieder der Gruppe angehören, also muss werden:
n 0
Auf der andern Seite aber ergiebt sich bei directer Ausrechnung:
i2 ) X ( Y ( f ) ) - Г(Х(/-)) = (9>^'_^д>')|^+^Д/(ф,^,(^1)_^с,(Н-1))
0 w—1 n
0 «4-1
Die beiden Gleichungen (1) und (2) müssen übereinstimmen. Diese Forderung drückt sich durch eine Gleichung von der Form:
n—l n
0 H-1