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Differentialgleichungen J^= О, J2= О, • • -, J^= О ist, und soll auch, nur eine einzige von J^ = 0, J^ = 0, • • -, J^ = 0 verschiedene irreduzible lineare gene Differentialgleichung J^ == 0 mit Koeffizienten aus E existieren, deren Integrale F = 0 genügen, so müssen wenigstens zwei der chungen «Ti == 0, Jj = 0, • • -, J^= 0 gegenseitig von derselben Art sein.

Nach dem voraufgehenden Satze ist infolge der Existenz von J^' = 0 unter den linearen homogenen Differentialgleichungen

Ji=0 , ^2 = 0, ..., J^=ô wenigstens eine, die mit J^' = 0 von derselben Art ist. Wir denken uns die linearen homogenen Differentialgleichungen J^ = 0, Jg = 0, • • -, J" == 0 derartig bezeichnet, daß J^ = 0 mit J/ = 0 von derselben Art ist. In genau der gleichen Weise wie auf S. 96 bilden wir das Heinste gemeinsame Vielfache von «7^ = 0 und J^=0 und gewinnen auf diese Weise Л^ = 0; dann bilden wir als kleinstes gemeinsames Vielfaches von M^= 0 und Jg = 0 die Differentialgleichung M^ == 0, usw.^ bis wir schließlich V=0 als kleinstes gemeinsames Vielfaches von -M^_i = 0 und «7=0 erhalten. Ji = 0 und «7j' = 0 haben als zwei nach Voraussetzung verschiedene duzible lineare homogene Differentialgleichungen kein Integral gemeinsam, hingegen genügt jedes Integral von J^'^ 0 der linearen homogenen rentialgleichung F = 0. In genau derselben Weise wie auf S. 97 schließen wir, daß unter den linearen homogenen Differentialgleichungen Jfg = 0, Жз = 0, •. ., Ж^_1 = О, Ж^= F= О eine vorhanden sein muß, wir bezeichnen sie mit М^=0(2 <f<g), so daß Ж^== 0 durch sämtliche Integrale von J^' = 0 erfüllt wird, während kein Integral von J^' =0 der linearen homogenen Differentialgleichung Ж^_^= 0, die Ж^= 0 bar voraufgeht, genügt. Offenbar ist M^^ J^. Bei Verwendung der gleichen Bezeichnung wie auf S. 97 haben wir die Zerlegung

Aus ihr schließen wir genau wörtlich wie auf S. 97—99, daß die irre- duziblen linearen homogenen Differentialgleichungen J^ = 0 und J^ = 0 gegenseitig von derselben Art sind. Die zwei irreduziblen Hnearen genen Differentialgleichungen J^ = 0 und J^ = 0 waren nach dem Anfang des Beweises gegenseitig von derselben Art. Folglich müssen Jj = 0 und «7^=0 gegenseitig von derselben Art sein; denn jede dieser Gleichungen ist mit der irreduziblen Gleichung «7/ = 0 von derselben Art. Hiermit ist Satz П bewiesen.

Satz Ш. Ist die vollständig reduzible lineare homogene gleichung F = 0 mit Koeffizienten aus dem Eationalitätsbereiche Z Ueinstes gememsames Vielfaches der in bezug auf 21 irreduziblen linearen homogenen DifferenMalgleichmgen J^=0, J^^O, •••, J^=0 mit Koeffizienten aus 2