304

Hellinger - Toeplitz .

mithin

А „ { х , у ) \й^\мУ ; { а^^ + у,У+МУ;{х^-у,У

\'p=\ p=i j

speziell für solcbe Wertsysteme also, für die

ist , ist

d . h. Ä{x, y) ist beschränkt, und Ж ist zugleich eine obere Schranke dafür. Da unter den Werten, deren die Polarform Ä(x, y) fähig ist, speziell aber auch alle Werte inbegriffen sind, deren Ä{x, x) fähig ist, ist M zugleich auch die genaue Grenze von Ä(x,y).

Die Polarform hat dieselbe genaue obere Grenze, wie die quadratische Form, zu der sie gehört.*)

Definition . Eine Bilinearform mit Tiomplexen Koeffizienten

( P , 2 ) {P,4)

heißt beschränlit, wenn eine von den Veränderlichen und von n unabhängige positive Größe M existiert, sodaß

<M

* ) Im Zusammenhange hiermit sei noch erwähnt: Faltet man eine beliebige beschränkte Bilinearform А mit ihrer offenbar ebenfalls beschränkten „transponierten" Form J.'(a?, y) == J.(2/, x\ so hat man in AÄ eine symmetrische Bilinearform; auf diese Weise gehört also zu jeder symmetrischen oder unsymmetrischen Bilinearform А eine quadratische Form AAix^x)., und ähnlich noch die zweite Л'J.(a;, ж). Beide tischen Formen sind définit, und zwar hat man

Aâ : { x , x) =^(^%a ^p)\ Ä'A{x, X) =^(^a^Q xV. («) ^(p) ' («) 4?) /

Übrigens sind die oberen Grenzen der Formen AA'{x,x) und A'A{x,x) beide gleich dem Quadrate M^ der oberen Grenze Ж von A{x,y). Denn einmal ist eine jede nach dem ersten Faltungssatze kleiner als M- Ж, andererseits folgt aus der sehen Ungleichung

\M=>^>y ) I = \2Уа (2%a ^p) 1 й Л/2у1 • -^^' ('^' ^) ? I [a) \(p) / i r («)

also kann auch umgekehrt die obere Grenze von А die Quadratwurzel aus der von AA' nicht übersteigen.