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J . Sommer.

Fig 1.

gen der Differentialgleichung, im eigentlichen Sinn, gelten können. Dagegen gibt es durch zwei getrennte, wenn auch noch so nahe gelegene Punkte stets

zwei Lösungen^), und zwar ergeben sich die Tangenten im Punkt x^, y-^ an die beiden Kurven durch eine kleine Drehung aus der Sehne Р1Р4 und aus der Geraden x—.^1=0, welche ev. als Ausartung der von {x^,y-y) ausgehenden Integralkurven festzustellen wäre. Die Figur 1 soll ein Bild geben von den zwei Lösungen ; es ist klar, daß für beide Lösungen je eine nach Potenzen von X—rTjt fortschreitende endliche entwicklung gilt, welche für x~ x^ den Wert y^ annimmt. Zunächst ganz ähnlich wie in dem soeben behandelten Beispiel liegen die Verhältnisse bei der aus Ellipsen und Hyperbeln bestehenden Kurvenschar:

( 10 ) ' /"(a;, 2/, c^,cJ = (Cia;H-c,)''~Ci2/^-l = 0,

welcher wieder die Doppelgeraden {x— c) =0 zugerechnet werden müssen. Durch irgend zwei Punkte gehen zwei Kurven der Schar, und zwar ist, wie man aus dem untenstehnden Wert von c^ sieht, mindestens eine dieser Kurven eine Hyperbel, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Zu einem Punkt mit gegebener Tangente gibt es wieder nur eine Kurve und sprechend ist die Differentialgleichung der Kurvenschar nur vom ersten Grad, nämlich

Der Unterschied gegen das vorhergehende Beispiel besteht nur darin, daß die Punkte Pj und P^ jedenfalls bei einer dieser Kurven auf zwei getrennten Zweigen einer Hyperbel hegen. Die Entwicklimg dieser Lösung an der Stelle (»1, Ух) nach Potenzen von x— x^ kann niemals {ш x~ x^ gültig sein. Man kann von der Stelle {x-^, Уг) zu {x^, y^) immer nur auf dem Wege der lytischen Fortsetzung gelangen. Es ist aber doch wohl berechtigt, auch in solchen Fällen von zwei Lösungen durch zwei Punkte zu reden, denn der Fall,

* ) Hierbei ist zu berücb;sichtigen, daß y' nicht beschränkt ist. Deshalb ist das Vor- stdiende nicht im Widerspruch mit einem bekamiten Satz von E. Picard aas dessen Übertragung der sukzessiven Approximation auf gewöhnliche Differentialgleichungen. Vgl. Б. Picard, Traité d'Analyse, Bd. 3, 1896, S. 99 und M. Bôcher^ Enzykl. d. M. W. II. 1, S. 457. Bei groBeçen Entfernungen .P^F^ könnten allerdings die beiden liö- sunpen gajoz ährüiches Aussehen bekommen und eine Bevorzugung der emen Lösung zufällig werden. *^