Asymptotische Eigenschaften der Polynome eines Orthogonalsystems Ц^

hörigen Polynome <p„if',z), die sich übrigens von einem gewissen Index an explizite (und zwar äußerst einfach) darstellen lassen, habe ich in Ag (S. 187) bereits als Beispiele behandelt.

Analoge Methoden, insbesondere die Benutzung von gewissen Extre- mum-Eigenschaften der zu behandelnden Polynome, scheinen auch bei anderen verwandten Fragestellungen mit Erfolg anwendbar zu sein. In einer anderen Arbeit^^) habe ich z. B. gezeigt, wie man mit Hilfe einer ähnlichen Überlegung die ganze Konvergenztheorie der Entwicklungen nach den Polynomen Q^iPl^) auf die Theorie der Fourierschen Reihe führen kann. Es ist vielleicht nicht ohne Interesse, daß dieses lungstheorem sich vollständig unabhängig von den in der vorliegenden Arbeit erhaltenen asymptotischen Sätzen begründen läßt.

Die vorliegende Arbeit hat eine ähnliche Einteilung, wie B. Im I. Kapitel betrachte ich das Orthogonalsystem (99) und im IL Kapitel wende ich mit Hilfe der Gleichung (1) die früheren Ergebnisse auf das System (Q) an. § 1 enthält eine Zusammenstelbng derjenigen schaften der Polynome 9'„(f;2), die zum Verständnis der folgenden wendig sind. Daselbst finden sich auch einige Hilfssätze, die ich lich vorausschicke, um den Gang der späteren Überlegungen nicht brechen zu müssen.

Anwendungen der hier bewiesenen Sätze, vor allem auf die Theorie der Interpolation und mechanischen Quadratur, behalte ich mir für eine spätere Gelegenheit vor.

Inhalt .

I . Kapitel . Über die Polynome, welche gegenüber einer Belegung des

Einheitskreises orthogonal sind. § 1. Hilfsbetrachtungen. § 2. Über eine spezielle Klasse von Belegungen und die zugehörigen

Polynome . § 3. Über einige Maximumaufgaben. § 4. Über die Quadratsunime der orthogonalen Polynome. § 5. Über den asymptotischen Ausdruck der orthogonalen Polynome.

IL Kapitel. Über die Polynome, welche gegenüber einer Belegung des Intervalles — 1 ^ a; ^ 1 orthogonal sind. § 6. Hilfsbetrachtungen. § 7 Über den asymptotischen Ausdruck der orthogonalen Polynonje.

1^ ) Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach den Polynomen eines Orfcho- gonalsystems. Math. Zeitschr, 12, S. 61—94.