Beiträge zur allgemeinen Topologie. I. Axiome fur verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs.

Von Heinrich Tietze in Erlangen.

Der Begriff der stetigen Abbildung und damit der Begriff der „topo- logischen", d. h. eineindeutigen umkehrbar stetigen Abbildung läßt sich bekanntlich nicht nur im Bereich der in einem n-dimensionalen Raum gelegenen Mengen^) entwickeln, sondern auch im Bereich allgemeiner Mengen, sofern für ihre Elemente nur gewissen Axiomen genügende setzungen über Limes-, Umgebungs- oder Abstandsbeziehungen getroffen sind. Hieraus erwächst eine ,,allgemeine Topologie'^ als Lehre von den bei topologischen Abbildungen invarianten Eigenschaften solcher als „topo- logische Räume" bezeichneter Mengen^). Damit verbindet sich die suchung verschiedener Axiomensysteme für die genannten Limes-, gebungs- oder Abstandsbeziehungen ^) hinsichtlich ihrer Tragweite und ihres gegenseitigen Zusammenhanges. Hierzu sollen im folgenden Beiträge liefert werden.

Speziell für die UmgebungsheziehungQu hat F. Hausdorff 1. с ^) eine ausgedehnte Theorie auf der Grundlage eines im folgenden wiedergegebenen Axiomensystems entwickelt. Jedes System von Beziehungen, das zufolge von (als willkürlich getroffen anzusehenden) Festsetzungen „Umgebungen" festlegt, die diesen Axiomen genügen, ordnet sich dieser Theorie unter. Statt der „Umgebungen" werdeu häufig mit Vorteil „offene Mengen" und

^ ) Und analog für „fMÜBaenmonale Manniglaltigkwten" in dem allgemeineren in der Analysis situs heute üblich gewordenen Sinn.

* ) Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213.

^ ) Auch der Begriff des Häufungspunktes ist zum Ausgangspunkt genommen worden. Vgl. drei Postulate für „Verdiohtungsstellen" von F. Riesz, Atti del IV. congresso dei Matematici, Roma 1908, t. 2, p. 19. Über ein viertes von W. Groß aufgestelltes Postulat für Häufungepunkte vgl. die kürzlich erschienene Arbeit von L. Vietoris, Monatshefte f. Math. u. Phys. 81 (1921), S. 176.