Ebene Geometrie ohne Symmefcrieaxiom. 115

Da die beiden Schenkel nicht in einer, einzigen Geraden liegen dürfen, ist

nacb Seite 111; _ ' _

cc : ß=^ä : ß oder aß-^ßä.

Wir transformieren A'mB, Dann bestimmt sieh nach III der winkel # -f- T aus der Gleichung:

ег^ + ( 1 + г ) г (^^ _^ iß^ = fc (й -f- iß) (kX)).

Durch dieselbe Transformation wird 5 in О überführt. Da hierbei die Spitze des Winkels in sich selbst übergeht, besitzt С die Gleichung:

x - { - iy^Xo + iyQ + e»^+(i+*)'^(â + iß)-s (s > 0),

= - x , + iy, + k^^f-s (fc>0).

Es genügt zu zeigen, daß die beiden Punkte Aq und Cq, die sich für

s = 1 bzw. s = -r auf A und С ergeben:

Л' x4-iy = X(,-i-iyo-ba-i-iß,

Col ос + гу = х^-ггуо + ~^^^

auf verschiedenen Seiten der Geraden В liegen. В hat nach Elimination von s die Gleichung:

M — ^ßx — äy — {ßXß — ауо) = 0.

Nach Seite 110 ist zu zeigen, daß M durch Einsetzen der Koordinaten von Aq und Co einmal größer und einmal kleiner als Null wird. M ist gleich dem Imaginärteil der folgenden Funktion:

M^J { { a - iß ) [ { x^^iy , ) - { x^iy ) ] } .

Durch Einsetzen von A^ und Cq ergeben sich die beiden Werte:

Jf^ = J{- (ß _ iß) (« 4- iß)}^ aß-ßä,

if , =Л - (s - iß) ^f-}=- !:±|; i^-ß - ß^)

M^ und M^ haben also stets entgegengesetztes Vorzeichen.

§3 .

Jede Transformationsgrappe, welche die angegebenen sechs schaften besitzt, erfüllt alle Kongraenzaxiome mit Ausnahme des

Symmetrieaxiomes .

Wir zeigen zunächst, daß zu jeder Transformation eine inverse formation existiert, die also, mit der ersten Transformation gesetzt, die identische Transformation ergibt» Wenn nämlich durch die

8 *