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H . Prüfer.

§6 .

Emige weitere BeihenentwieklnngeD.

In dem in § 1 aufgestellten, nunmehr vollständig bewiesenen wicklungssatze sind wichtige Reihenentwicklungen, die nach Integralen von Differentialgleichungen

fortschreiten , nicht enthalten, weil entweder die Randbedingungen andere als die in § 1 angenommenen sind oder weil die Funktionen k, l, r nicht die dort gemachten Voraussetzungen erfüllen. Ich will hier noch kurz angeben, wie auch in einigen dieser Fälle meine Methode zum Ziele führt. Die Fouriersche Reihenentwicklung ist leicht direkt aus dem wiesenen Satze herzuleiten. Die Entwicklung der Funktionen

Ufi^ ) + f[-^)} und ~{f{x)-fi-x)} im Intervall 0 ^x ^л nach den Integralen der Differentialgleichung

du , , „

—5^ T y-u^^ 0, dx'

die den Randbedingungen

genügen , zeigt nämlich ^sofort:

Jede im Intervall —л^х^-{-л stetige und einmal stückweise stetig differenzierbare Funktion f(x), Jür die f {—л) — f {-{-л) ist, läßt sich nach den Funktionen

1 , cosa:, cos2ж, ..., sina;, sin 2a;, ...

in eine für — л-^х ■^-\- л absolut und gleichmäßig konvergente ReiM entwickeln.

Weiter kommt in den Anwendungen der Fall vor, daß die Zahlen а und ß, welche die Randbedingungen bestimmen, nicht konstant sind, sondern von Я abhängen. Man kann dann zeigen:

Der in § 1 aufgestellte Entvncklungssatz bleibt gültig, wenn die Zahlen> и und ß von X so abhängen, daß

ctga = ctgA + Ar(a)X, ctgß ='ctgB + Вr{b)X und

A£0 , ' B^O

ist . Dabei bedeuten A, B, A, В Konstante.