Fastpenodisehe FanMi<œen. I. 145

4 . Es liege eine Normalfunktion f{x) vor, wir werden zeigen, daß sie fastperiodisch ist. Aus der Auswahlbarkeit folgt leicht, daß f{x) beschränkt und gleichmäßig stetig ist. Die „Verschiebungsfunktion'*

^ ' vJz)== Ob. Gr. \f(z-i-z)-fix)\

- »<a!<+ OD

ist stetig, genügt den Bedingungen a) b) c) und besitzt, wie aus

\vfir - j - k^ ) - Vfir + Jc.)\£vf{k^-h)^ Ob. Gr. \f{x + k^)-f{x + h)\

— ao<^a;<+ со

folgt , zugleich mit f(x) die Normaleigenschaft. Dann müssen aber bei jedem s> 0 die Punkte г, im welche

relativ dicht liegen. Sonst gäbe es eine Konstante а > 0 und eine Folge von Intervallen

( 3 ) a,<r<ß, (ï^-1,2,3,...),.

( 4 ) ßy — dy-^oo,

so daß in allen Intervallen (3) die Ungleichung

bestünde . Jede Funktion

( 5 ) ^,(,) = «^,_t+^)

wäre daher im Intervall

ßv — CCv ^ ^ ßv — CCv

größer als a. Eine Teilfolge von (5) konvergiert gleichmäßig. Die funktion muß wegen (4) überall ^ a sein, was aber damit nicht zu einbaren ist, daß jede der Funktionen Vy{x) einmal den Wert 0 annimmt, 5. Es liege eine Normalklasse vor (von der wir nunmehr wi^en, daß sie aus fp. Punktionen besteht). Wir werden zeigen, daß sie eine schränkte ausgezeichnete Menge ist. Die gleichartige Beschränktheit folgt sofort aus der Auswählbarkeit. Da nach Satz XIII die Veischiebungs- funktionen einer Normalklasse wieder eine Normalklasse bflden, nehmen wir an, daß eine Nomialklasse von Verschiebungsfunktionen

e . (t) (г durchläuft eine Indexmei^e D)

vorliegt . Wir haben nachzuweisen, daß die (überaH endliche) Funktion

0 ( r ) = Ob.Gr.(ef{T))

eine Verschiebungsfunktion ist. Aus der Auswahlb^eit kann Mcht folgert werden, daß di^e Funktion in jedem Punkte т stetig Ist» W&mi

Mathematische Annalen, 96, ' lu