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J . L. Walsb. Entwicklung nach Polynomen.

Die Bedingung ist hinreichend. Die Funktion F(z) ist auf imd halb einer Jordansehen Kurve analytisch, welche jeden Punkt des schlossenen Inneren von С enthält^'). Polynome existieren also, welche die Eigenschaft (7) für alle zu С gehörenden Punkte z besitzen.

Die Bedingung ist auch notwendig. Die zu С komplementäre Menge (in bezug auf die ganze Ebene) ist ein Bereich, dessen Grenze zur menge С gehört. Der Satz von Carathéodory und seine Anwendung gelten also wie vorher, wenn В einfach zusammenhängend ist. Wenn der reich В nicht einfach zusammenhängend ist, so ist noch eine kurze örterung nötig. Die Punktmenge B\ die aus den Punkten von В und den Punkten des Inneren jedes ganz in В liegenden Polygons besteht, ist ein einfach zusammenhängender Bereich, von welchem jeder punkt auch ein Grenzpunkt von В ist. Das abgeschlossene Innere der Grenze von В ' fällt mit dem abgeschlossenen Inneren С der Grenze von В zusajnmen und enthält natürlich jeden Punkt der Bereiche В und B'. Diç, Greuzfunktion f[z) der Folge V^{z) ist auf der ganzen Punktmenge G definiert, und die Ungleichheit (7) gilt für f{z) statt F{z) für jeden Punkt z von G. Wir gebrauchen den Bereich Л' statt J5 in der wendung des Satzes von Carathéodory.

^' ) Vgl. Walsh, Math. Annalen, loc. cit., Bemerkung 3.

( Eingegangen am 26. 1. 1926.)