Intuitionistisehe Mathematik, Ш.

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geht hervor, daß die Multiplikation einer Ordnungszahl des zweiten reichs mit einem rechtsseitigen Multiplikator ш, mithin auch mit einem rechtsseitigen Multiplikator ш^», mithin auch mit einem beliebigen, eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs darstellenden rechtsseitigen Multiplikator, wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist. Hieraus folgt, daß allgemein das Produkt endlichvider Ordnungszahlen des zweiten Ber-dchs wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist.

Eine Fimdamentalreihe ß^^ß^,... von Ordnungszahlen des zweiten Bereichs heißt induziert in bezug auf den zweiten Bereich, wenn eine solche steigende Fundamentalreihe Vy^,v^, ... existiert, daß die Gmde von ßvi-, ßv^i -•' entweder beständig wachsen oder einander gleich sind, während für m zwischen v^ und y^^^ der Grad von ß^ kleiner ist als der Grad von ßy^^^, und, falls die /5^„ vom Grade Null sind, die Fundamentalreihe ßv^i ßvi+1, ßvi+2, •. • in bezug auf den ersten Bereich induziert ist.

Wenn wir die ordnungsgemäße Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich induzierten Fundamentalreihe von Ordnungszahlen des zweiten reichs mittels der ordnungsgemäßen Summe entsprechender vollständiger bzw. aus nur einem einzigen Nullelemeut bestehender wohlgeordneter Spezies definieren, dann erweist sich di^e Summe wiederum als eine zahl, und zwar ist dieselbe entweder gleich со'" oder gehört wiederum dem zweiten Bereich an.

Wir formulieren jetzt eine Eeihe von sechs Eigenschaften:

1 . Zu einer beliebigen von Null verschiedenen Ordnungszahl des zweiten Bereichs gehört sicher ein vollständiger Erzeugungswert, der vollständig induziert in bezug auf den zweiten Bereich ist, d. h. dessen konstruktive Unterwerte alle Ordnungszahlen des zweiten Bereichs besitzen, und für den bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die fende Fundamentalreihe von Ordnungszahlen in bezug auf den zweiten reich induziert ist.

2 . Eine beliebige von Null verschiedene Ordnungszahl des zweiten Bereichs, deren letzter Exponent von Null verschieden ist, ist gleich der ordnungsgemäßen Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich zierten Fundamentalreihe von nichtverschwindenden Ordnungszahlen des zweiten Bereichs.

3 . Jeder Abschnitt (also auch jeder Rest und Jeder Ausschnitt) einer OMnun^zahl des zweit^i Bereichs ist wiederum eine Ordnungszahl d^ zweiten Bereidis (so daß der zweite, ebenso wie der erste Bereich der Ordnungszahlen ununterbrochen ist).

Biese Eigenschaft braucht nur für eine beliebige von Null dene Ordnungszahl dœ zweiten Bereichs ß bewiesen zu werden. Sie ei^bt