Singularitäten von Funktionen zweier Veränderlichen. 75

innerhalb ' 21 < Sflfs^) + •^o^ mindestens ein singulärer Punkt liegt. Andererseits gibt es zu vorgegebenem ô>0 eine Folge s^ mit lim* =«„,

n - >co

so daß '3iis^)^'Si{sQ) -{- d — Ô. Es lägen also bei genügend kleinem ^ > 0 singulare Punkte im Innern von й . Das widerspricht der^ setzung, daß die Reihe (1) in ^* gleichmäßig konvergiert, f[w,z) dort also regulär ist. Es liegt daher auf jedem der Kreise (2) mindestens ein singulärer Punkt. Bildet man wiederum die Funktionen f^(w,z), so läßt sich nunmehr zu jedem Randpunkte P von Ш eine in Ш reguläre, in P singulare Funktion anheben. Daraus folgt, daß й* den Bereich Ш halten muß. Da ^* als Körper der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe (1) sternartig ist, ergibt sich sofort die Behauptung von Satz 11, somit auch von Satz 10.

Da , wie wir eben gezeigt haben, ein Körper й der gleichmäßigen Konvergenz einer Diagonalreihe die Eigenschaft hat, daß es zu jedem Randpunkte P eine in ^ reguläre, in P singulare Funktion gibt, folgt ferner nach Satz 5, daß stets eine in £ reguläre, über й hinaus aber nicht fortsetzbare Funktion f(w, z) existieren muß.

Ist umgekehrt der Kreiskörper ^ genauer Existenzbereich einer lytischen Funktion f{w, z), so muß £ nach Satz 10 stemartig sein; die Reihenentwicklung (1) von f{w, z) hat dann й als Gebiet der gleichmäßigen Konvergenz.

Das Entsprechende läßt sich für Reinhardtsche und Hartogssche Körper zeigen. Es gilt also:

Satz 10. Ein Kjeiskörper (Reinhardtscher oder Hartogsscher Körper) ist dann und nur dann ein Existenzbereich einer Funktion f[w,z), wenn

er der Bereich der gleichmäßigen Konvergenz einer Reihe ^ f^{s)z^

/ то oo \ «=0

i ; «..„«;-2" bzw. 2f^w)z^ ist.

\r / t , n~0 n=0 /

Hieraus ergibt sich sofort:

Satz 11. Ist ® ein beliebiger beschränkter Existenzbereich einer arialytischen Funktion f(w, z), £ der größte, um einen inneren Punkt von ® als Mittelpunkt beschriebene sternartige Kreiskörper bzw. ständige Reinhardtsche Kreiskörper, der rwch ganz im Innern von ® liegt, so ist auch £ ein Existenzbereich einer an/üytischen Funktion f{w,z).

Ist £ der größte aller ganz im Innern von @ liegenden vollständigen Hartogsschen Körper, die eine beliebige durch das Innere von © laufende analytische Ebene zur Symmetrieebene haben, so ist й gleichfalls ein Existenzbereich einer Funktion f{w,z).