Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen,

81

1 . p(äj) = x, wenn X aus ^,

2 . p(a)-t-^()ß) = :|з(о;+ /5) und p{a)p{ß) = p{aß), wenn weder

p ( cc ) noch p{ß) gleich oo ist,

/ 1 \ ^

3 . p(a) = oo dann und nur dann, wenn :pf—j=ab, -

Die von oo verschiedenen Werte, welche p annimmt, bilden einen algebraischen Erweiterungskörper T von ^, isomorphe T werden nicht schieden.

Der volle Wertbereich von p ist T und oo, denn wenn der Wert oo nicht angenommen würde, so wäre p eine isomorphe Abbildung der denten Erweiterung к auf die algebraische Erweiterung T von ^.

Alle а aus к mit p{cc) 4= <^ bilden einen Ring kp.

Die Menge aller а aus к mit p(a) = 0 ist ein Primideal p von kp, das folgt unmittelbar aus der Bedingung 2 der Primdivisordefinition.

Satz 4. kp ist eine Maximalordnung von k^), da^ heißt: kp ist von к verschieden, kp enthält, 1, kp hat den Qux)tientenkôrper к, und es gibt keinen Ring zwischen kp und k, der nicht gleich kp oder к ist.

Beweis . Nach Bedingung 1 der Primdivisordefinition ist 1 in ifc^ halten, und nach Bedingung 3 ist jedes ifc-Element entweder in der Form cc

oder in der Form — mit а aus К darstellbar. Zum Nachweis der Maxi-

a ^

malität von kp muß der Zusammenhang der Primdivisoren mit der theorie in Hauptordnungen von к herangezogen werden.

Wenn 2 ein über 2! transzendentes yfc-Element ist, so heißt der Ring aller vom Polynombereich ^[z] ganzabhängigen ä;-Elemente die ordnung 0. von k.

Da in 2[z'\ die eindeutige Zerlegbarkeit der Ideale in Primideale gilt, so gilt sie auch in o^, falls к von endlichem Grad über ^[г] ist*).

Wenn p(2) =4= oo ist, so ist die Hauptordriung o^ in kp enthalten.

Denn wenn и nicht zu kp gehört, also p[—) = 0 ist, so gilt für

liebige Polynome p^{z) stets weil

^ (1 + ^"'г>я_, (2) +... + a-^Poiz)) = |) (1) = 1

ist , а ist also nicht ganzabhängig von 2" [2].

^ ) W. Krull, Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern П, Math. Zeitschr. 31 (1930), S. 527-557.

* ) E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Punktionenkörpern, Älath. Annalen 96 (1927), S. 26-61.

Mathematische AniAlen. 106. " 6