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M . Deuring.

Divisorengruppe ^^^^ von %k,l- -^* *«*

Beweis . Nachdem Anordnungs-und Eindeutigkeitssatz ist £^*^§x^^^ ^• Es ist weiter

Nach dem Anordnungs- und Eindeutigkeitssatz ist die zu L gehörige gruppe 2 von ®i,fc in ^^"^ enthalten, 2 ^ £^''\ femer ist 2^§i, also 2£^^^^A§x. Schließlich ist nach dem Anordnungs- und satz ^^'^ A §i ^ 2, also 2 = f ^'^ r\ §i,

Demnach ist die Ordnung von Ш^^^ ^l^'s^l gleich dem Grad von K\h, diert durch den Grad von L\k, d. h. gleich dem Grad von KjL. Die Ordnung von й''^\ §x ist ebenfalls gleich dem Grad von ЩЬ. Wegen t^^'§£^^^-^' folgt also ^^*^§i==f^^', w. z.b.w.

Satz 15. L sei Äbelsch über k, К Abelsch über L, der körper des in Beziehung auf к Galoisschen Körpers von К gleich dem von к und der Grad von Kjk nicht durch с teilbar. Die zu К in ziehung auf к konjugierten Körper seien K^,..., Kj^. Zu L gehört eine Untergruppe 2 von %l,ic, 2;m K- eine Untergruppe Шi von ^e,,l-

Der Isomorphismus, welcher K^ auf К abbildet^ führt auch ^^ in ^ über. Kennzeichnend dafür, daß К Galoissch über к ist, ist die Invarianz von ^ gegenüber der Galoisschen Gruppe von Ljk. In diesem Falle duziert also die Galoissche Gruppe von Ljk eine Automorphismengruppe van £/§i.

Wenn Kjk Abelsch ist, so sind die einzelnen Restklassen von ^ nach ^L gegenüber der Galoisschen Gruppe von Ljk invariant; die induzierte Automorphismengruppe hat also die Ordnung 1. Aber umgekehrt folgt nicht av£ der Invarianz der ^j,-Restklassen von Ш bei den Automorphismen von L k, daß Kjk Abelsch ist.

Beweis . Daß beim Ausüben desjenigen Automorphismus, welcher K- in Kj überführt, £j. in der behaupteten Weise mitgenommen wird, folgt unmittelbar daraus, daß £,/§j. die größte endliche Untergruppe von &K,.L А ^K.l^k ist.

Wenn Kjk Galoissch ist, so fallen die K. zusammen, es muß also ^1==...=£д,= £ sein. Umgekehrt folgt aus f^^... = t^=^ unter Benutzung der Voraussetzung, daß der Konstantenkörper von {Kj^,..., Kj^} gleich dem von к ist, daß die {K^, ..., Kj^} zugeordnete Untergruppe von <^U„...,Ku}.L gleich ^i-....f,^ = t ist, daher fällt {K^,...,Kj^} mit К snisammen.