/ S - ZaMen . 135

das Polynom f{x) der Ungleichung

I f{x) ^jua--""^ (0£ju^ c^(m))

genügt , besitzt eine Gesamtlänge

\M { f ) \^c . ^ { m ) jua - ^ " '' - '\

4 . Sei zu der festen natürlichen Zahl m die positive Zahl /л -^Cji^m) beliebig, aber fest gewählt. f{x) durchlaufe alle Polynome von genau m-tem Grade mit ganzen rationalen Koeffizienten und lauter einfachen Xullstellen. Zu jedem dieser unendüchvielen Polynome gehört eine menge M{f); die Vereinigungsmenge aller M{f) werde mit M^^fi) zeichnet. Offenbar setzt sich M^{ju) aus abzählbar vielen getrennt liegenden Intervallen zusammen. Es gibt zu jeder natürlichen Zahl а höchstens

( 2a + l)'" + ^^3'"-^^a'"+^

, . erlaubte'' Polynome; also folgt aus Hilfssatz 2, daß der Gesamtinhalt von М^[/и) höchstens gleich

ist :

Hilfssatz 3. Der Inhalt der Punktmenge М^{(г) genügt für {л^с^{т) der Ungleichung

' ^mi/^) ' £ Сз(т)/г (сз(ш) = 4С (2) w*' 3^*"m" (2 m - 2)!).

5 . Sei f{x) jetzt ein beliebiges Polynom genau m-ten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten. Dann existiert eine Zerlegung

1=1 wobei

f^ { x ) , Ux), ..., Ф) q Polynome in x etwa von den Graden

^ 1=1

mit lauter einfachen Nullstellen sind; ihre Koeffizienten dürfen ohne schränkung ganz rational angenommen werden. Bedeutet a^^^ das Maximum der Absolutbeträge der Koeffizienten von fi{x), so ist nach einem satz von С SiegeP)

а <—га.

— m^!

'^ ) Siehe die Arbeit: „Approximation algebraischer Zahlen" von С Siegel, Math. Zeitschr. 10, S. 176.