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P . Alexandroff.

man die Koeffizienten in (1) durch ihre Restklassen modulo ш ersetzt, hält man den Rand modulo тп von x^.

Wenn С ^^c"Xi -^) irgendein algebraischer Komplex ist, so definiert man seinen Rand С als die Summe c^ ±1 der Ränder seiner Elemente (aUes natürlich nach einem und demselben Modul gemeint). Diese Definition gilt auch für Komplexe mit rationalen Koeffizienten.

Ein algebraischer Komplex, dessen Rand modulo m Null ist, heißt ein {algebraischer) Zyklus modulo w; dabei ist m eine beliebige unter den Zahlen 0, 2, 3,.... Der Rand (mod w) eines beliebigen algebraischen plexes ist stets ein Zyklus (modw). Wenn z der Rand von С ist, schreibt man auch C-*z.

Bemerkung . Es sei z ein Zyklus modulo Null; z ist also eine form mit ganzzahligen Koeffizienten; wenn wir diese modulo «г reduzieren, entsteht ein Zyklus modulo m, den wir abermals mit z bezeichnen. In diesem Sinne sagt man, daß jeder Zyklus modulo Null als ein Zyklus nach jedem Modul m betrachtet werden kann. In analoger Weise kann man auch im Falle, wenn m' ein ganzzahliges Vielfaches von m ist, jeden Zyklus modulo m' als einen Zyklus modulo m auffassen.

18 . Es sei G ein Polyeder oder eine offene Menge des JZ**; es sei z ein algebraischer Zyklus modulo «i (wi^jO), dessen Simplexe sämtlich in G enthalten sind (von einem solchen Zyklus sagen wir, daß er in G liegt). Wenn z den Rand eines in G liegenden Komplexes modulo m bildet, sagen wir, daß z in Ö berandet und schreiben zr^O mod m (in G). Wenn dabei m^2 ist, sagen wir statt „berandet" auch „homologNuW* und schreiben statt ^^ auch '>./. Wenn dagegen wi == 0 ist, oder allgemeiner, wenn z ein Zyklus mit rationalen Koeffizienten ist, so sagen wir, daß z in G homolog Null ist (in Zeichen: z^^O in G), wenn z einen in G liegenden Komplex mit rationalen Koeffizienten berandet; das ist offenbar gleichbedeutend mit der Forderung, daß für ein passend gewähltes ganzzahliges t der Zyklus tz ganzzahlige Koeffizienten hat und in G berandet ^^).

Wenn z^ — z^ r^ 0 bzw. '>^ 0 in G ist, schreibt man Zj r^s: Zg bzw.

2^ ) Hier und überall in analogen Fällen wird nach dem Index г smnmiert!

" ) Der Grund für diese Wahl der Bezeichnungen ist der folgende. Im Falle „modulo Null" besitzt der Koeffizienteniing (der ja in diesem Falle der Bing aller ganzen Zahlen ist) keine von NuU verschiedenen Null teuer, so daß man auch sagen könnte, daß z /-n^ 0 ist, wenn es einen Komplex ö und einen von den NuUteilem verschiedenen Koeffizienten с gibt, so daß C-*cz ist. Wenn man nun diese nition der Homologie auf den Fall m>0 anwendet, ergibt sich, daß die Zeichen -^ und ^^ gleichbedeutend sind (denn man kann ja, wenn с kein NuUteiler ist, durch с dividieren). Falls insbesondere m eine Primzahl ist, folgt aus der Existenz eines C-*-cz (c Ф 0) die Ibdstenz eines C'-*- z ; dasselbe gilt auch für rationale Koeffizienten.