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p . AlexandrofE.

24 . An den Homologiebegriff schließt noch der Begriff einer unendlich kleinen Verschiebung eines wahren Zyklus Z an: darunter versteht man eine Verrückung der Eckpunkte der z^ (fe = 1, 2,... in inf.), wobei die Eckpunkte von z^ weniger als um ein gewisses a^. verschoben werden und lim a^ = 0 ist. Durch eine unendlich-kleine Verschiebung geht jeder Zyklus Z in einen ihm homologen Zyklus Z^ über (es ist sogar Zc^Z^^).

25 . Konvergente Zyklen. Ein Zyklus nach konstantem Modul m ^0,

Z - - = { z^ , z „ , ..., Zj, ...)

heißt konvergent in F, wenn es zu jedem £ ein ^ gibt, so daß für alle h>1c

Zj^T^ z-^{m.oàm) m F ist.

Wir werden die Konvergenz von Zyklen getrennt in. den beiden Fällen 7» ^ 2 und w = 0 untersuchen.

Zunächst gilt der.

1 . Konvergenzsatz, Jeder Zyklus modulo w ^ 2 enthält als folge einen konvergenten Zyklus {nach demselben Modul).

Der Beweis stützt sich auf die einfache Bemerkung, daß es in ^ (bei beliebigen W2 ^ 2 sowie e > 0 und einem hinreichend-kleinen <5 > 0) nur endlich viele in bezug auf e-Homologie modwz voneinander verschiedene <5-Zyklen modw gibt-*). Aus dieser Bemerkung folgt zunächst, daß man

" ) Das beweist man z. B. so: Man wäMe à<,-^ beliebig und betrachte (mit Hausdorfi) irgendein ^-^-Netz" in F, d. h. eine endliche Punktmenge

von der Mgenschaft, daß jeder Punkt der Menge F mindestens von einem Punkt a,-

eine Entfernung <-g- hat. Jede Teilmenge der Menge-4, die einen Durchmesser < f о

hat , betrachten wir als Eckpunktgerüst eines Simplexes (dessen Dimensionszahl also um 1 kleiner als die Anzahl der Punkte in ^et betreffenden Teilmenge von .4 ist). Auf diese Weise entsteht ein Komplex K, dessen Simplexe sämtlich kleiner als s sind. Es sei jetzt z irgendeia Й-Zyklus mod m in F; wenn man jedem Eckpunkt von 2 einen unter den zu ihm am nächsten liegenden Punkten von Л entsprechen läßt, entsteht, wie leicht ersichtlich, eine simpUziale Abbildung von z auf einen Zyklus z', mod m, von К, und dabei ist zo^z' (in F). Wenn auf diese Weise zwei

£

Й - Zyklen Zi und Zg derselbe Zyklus z' von К entspricht, so ist z^CbLz^; folglich ist

s

die Anzahl der in bezug auf £-Homologien verschiedenen ^-Zyklen mod m in F höchstens so groß wie die Anzahl der verschiedenen Teüzyklen mod m in Z; da. aber «1^2 ist, so ist diese Anzahl endlich, w. z. b. w.

Anstatt des -5—Netzes und des Komplexes К könnte man natürlich auch den

g ö

Nerv einer -^--tJberdeckung von F betrachten („Gestalt xmd Lage", a, a, 0. ^).