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К . Borsuk.

Die „zusammengesetzte'* Funktion cp{p), welche für jedes p&Z durch die Bedingung

definiert werden kann, ist infolgedessen auf der Menge Z stetig.

Sei jetzt рвЕ. Es existiert nach 1. und (2) ein Index i (1 ^ г ^ r), so daß p^S^. Wir haben also nach (3)

Q (P, Яг) < Q (P' Рг) + Q (Рг,' Яг) ^ 2 £ < Зб,

was nach (6) und (1)

( 8 ) Q Щр), cp (?,J] = Q [f{p), f{qj] £ IГ} ergibt. Ferner gilt nach (6) und (5)

( 9 ) 0[<Р{Рг)'<Р(Р)]й^^'

Die Formeln (8) und (9) ergeben

Q [f(p)^ 9>(p)]£Q [f{P) > <P (Рг)] -^QI^P (Рг)' "P iP)l

woraus nach (8) und (9) die Formel 2. folgt.

Sei endHch T eine Seite der elementaren Figur Z mit den punkten p ,p , ...,p . Aus der Definition der Funktion 9? ((6) und (7)) ergibt es sich, daß die Menge 99 ( T) im Durchschnitte der Kugelfläche K^ mit einem EukHdischem höchstens (n — l)-dimensionalen Räume liegt, der durch die Punkte с und f{q^ ), f{g^ ),-••, Т{Яг^ ) bestimmt ist^^). Die Menge (p{T) ist also offenbar in K^ nirgends dicht. Danach bildet das Büd cp{B{Z)) der Menge B{Z), die eine Summe von endlich vielen Seiten von Z ist, eine im K^ nirgends dichte Menge. Um so mehr ist also, für Z und 99, die Formel 3. richtig, w. z.b. w.

8 . Hilfssatz. Ist E eine kompakte Teilmenge von Ä„_i, so ist jede Funktion fÇ-Kn einer Erweiterung auf B„_i relativ zu K^ fähig.

Beweis . Sei cp eine Funktion, die in bezug auf /"den Bedingungen 1,, 2. und 3. des Hüfssatzes 7. genügt. Nach 3. und nach Hilfssatz 4. hat also cp (nur in E betrachtet) eine Erweiterung auf -ß„_i relativ zu K^, woraus

( 1 ) срел{к;,Кп-г)

folgt .

Ferner , nach 2., gilt es:

( 2 ) 9s^{f,^)£V'

«

" ) Unter einem durch die Punkte p^, p^, ..., p,^i von i2„ bestimmten Euklidischen Baume wird die kleinste Teilmenge von B^ verstanden, die mit einem JS, (wo 0 < Z < ») isometrisch ist.