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J . Herbrand.

Corollaire . L'idéal ^% est un idéal entier, égal nu P. P. CM. de tous les idéaux premiers ^, tels que la contribution de ^ à '^ soit infinie, et qu4l y ait un idéal prirrtxiire fini divisible par ^ de même valeur.

Théorème 27, Soit К un corps tel que к CK Ç K. La différente de К par rapport à k, est le produit de la différente de К par rapport à K, par celle de К par rapport à k.

Ce théorème se démontre immédiatement par le procédé de passage à la limite si souvent employé. Nous nous dispensons du détail de la monstration, étant donné que nous ferons une démonstration exactement semblable au début du théorème 30.

Théorème 28. Supposons К galoisien par rapport à k. Considérons les idéaux 31^'^ du théorème 16. Soient щ, u^, ..., щ leurs valeurs, Q celle de ^, p''' Vordre de G^^\ e l'exposant de ^ par rapport à k.

La contribution c?e ^ à 2) a pour valeur

Q { e — p""^) ^щ{р''"-—р^^)-\-... -\-щ{р''1 — \)

= Q{e -\) -^ [щ- Q){pr^. -l) -{-... + {и,- u,_,){p^' -\)

et n'est finie, quand ^ est infini, que si tous les 2Ï^'^ sont finis et e=^p''-.

Soit en effet 0^^^ le groupe d'inertie, d'ordre e. Si ö appartient к G^'^ et non à g'-^'^^^ (г > 1), le P. G. CD. des A —о A est la composante de И^*^ suivant ^; si Ö appartient à G^^^ et non à G^'^\ il est égal à ^; si о n'est pas dans G , il est égal à (1). Cela résulte de la définition des groupes G^^\ G^'^\ ... .

De la définition de 2) résulte le théorème, car il y a e — p'^^ éléments du groupe de Galois qui sont dans G^^^ sans être dans G^'^\ et p^'— p^'^^ qui sont dans ö^'^ sans être dans ö^*"*'^'' (г>1); la contribution cherchée est donc égale à:

Remarque . D'après le théorème 23, quand p est complètement ramifié, cette contribution est toujours un idéal infini, quand ^ est un idéal infini, et il y a un idéal primaire fini de même valeur. Donc, d'après le corollaire au théorème 26, Ф^- est le P. P.CM. de tous les idéaux premiers infinis qui divisent ®.

En particulier, la contribution de ^ à g- sera égale à (1), si ^ est ^ mfini, et si e=ipl, p^". = l: c'est une circonstance effectivement possible (voir note 23), Au contraire, on a le

Théorème 29. Pour qu£ l'idéal premier Щ soit premier à la rente, il faut et il suffit qtie l'exposant e de ^ par rapport à к soit égal à 1.