506 H. Hamburger.

Satz 11^). Das zu (L) gehörige Integrationsproblem sei vom Haupt- typu^, ferner sei g{y) eine stetig differenzierbare Funktion mit der Periode 2л und Sq eine feste Zahl des Intervalls x^^Sq^x^. Dann sind alle Integrale z von (L) mit den Anfangswerten

/ gN Sz(s^y) ^ dg(y)

^ ^ Sy dy

selbst periodisch in y, wenn das Integral

•in

I { x ) ==^^\w [ ^s , y ; x ) ^l^dy = ^

0

identisch , in x ist.

Verschwindet aber J{x) nicht identisch in x, so existiert kein einziges in у periodisches Integral z von (X) mit den Anfangswerten (5).

Satz III'). Das zu {L) gehörige Integrationsproblem sei vom typus. Um alle in у periodischen Integrale z von [L) mit den werten {Ъ) zu finden, bilde man die Integrale

J { x ) =^Jw { s , y ; x ) '^ } p - dy ,

0

K { xs ) =^Jw ( s , y ; xf - ^jl^dy ü

und betrachte die Volterrasche Integralgleichung

X

( 6 ) 3{x)-\-c^{x)cp{x)^ JK{xs)(p{s)ds^O.

Es sei jetzt cp{x) eine Lösung von (6); dann konstruiere man jenige Integral z von (L) mit den Anfangsbedingungen (5), welches durch die weitere Bedingung

2л

( 7 ) -^^z{xy)dy^-(p{x)

0

eindeutig bestimmt ist^). Dieses Integral z hat in у die Periode 2л, uni zwar erhält man sämtliche in y periodischen Integrale von (L) mit den Anfangswerten (5), wenn man in Formel (7) 9? (ж) alle Lösungen der Integralgleichung/ (6) durchlaufen läßt.

6 ) Siehe Teü I, Satz 7, S. 469-470.

' ) Siehe Teü I, Satz 8, S. 470-471, in Verbindung mit Formel (82), S. 469 und Formel (76), S. 467.

8 ) Vgl. Teü I, Abschnitt 23 und 24, S. 458-460.