Schidttpunktsätze eines Fünfecksnetzes.

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§4 . Der Vierseitssatz ist keine Folge des Desarguesschen Satzes Dg vom ßang 8.

Wir haben schon in der Einleitung darauf hingewiesen, daß der Beweis des am Schluß von § 3 ausgesprochenen Satzes im Vergleich zu dem Beweis des entsprechenden Satzes für das Möbiussche Netz einfacher ist, da die vollständige Induktion in erhebhch geringerem Maße herangezogen werden mußte; der Vierseitssatz erwies sich als ein wesentHch stärkeres Hilfsmittel als der Satz I, der dem Möbiusschen Netz zugrunde liegt. Wir legen im folgenden der Einheitlichkeit halber dem Möbiusschen Netz den in der ersten Arbeit mit Satz II bezeichneten speziellen Desarguesschen Satz vom Rang 8 zugrunde, den wir mit Dg bezeichnen (er ist mit Satz I äquivalent). sprechend be2«ichnen wir den speziellen Vierseitssatz Satz 1 mit D^.

Die Frage, ob aus dem Dg nicht der D^ folgt, ist daher methodisch von Bedeutung, denn hat der Dg den D^ zur Folge, so kommt man mit den hier entwickelten Methoden auch beim Möbiusschen Netz leichter zum Ziel. Wir beweisen jetzt, daß auf Grund der ebenen projektiven Verknüp- fungs- und Anordnungsaxiome der Satz D^ keine Folge von Dg ist, so daß die transzendenten Schlüsse beim Aufbau des Möbiusschen Netzes läufig nicht zu umgehen sind.

Um zu zeigen, daß D^ keine Folge von Dg ist, genügt es ofienbar, folgendes zu zeigen: Es seien zwei Möbiussche Netze N und N vorgelegt, die drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte 1, 2, 3 gemeinsam haben. Die zur Erzeugung von N resp. N nötigen vierten Punkte seien 4 resp. 5. Der Punkt 5 gehöre nicht zum Netz N und möge auf der Geraden [3 4] liegen. Dann haben N und N* außer 1, 2, 3 und dem Schnittpunkt 6 von [3 4] mit [12] auf Grund der ebenen Verknüpfungssätze und von Dg keinen Punkt gemein; denn wenn der Vierseitssatz gilt, so haben die Netze N und N den vierten harmonischen Punkt zu 1, 2 in bezug auf 6 gemein.

Daß N und N keinen Punkt gemein haben, der außerhalb der raden [12] liegt, folgt leicht durch indirekten Schluß aus der Voraussetzung, daß 5 nicht zu N gehört, vermöge der projektiven Abbildungen eines Netzes auf sich. (Ist 5 nicht im Netz aus 1, 2, 3, 4 enthalten, so folgt, daß auch 4 nicht im Netz aus 1, 2, 3, 5 enthalten ist, usw.) Es bleibt zu zeigen, daß die beiden Netze auf Grund der ebenen Verknüpfungssätze und von Z)g auch auf [12] keinen vierten Punkt gemein haben. Da es bei der Voraussetzung, daß 5 nicht zu ^Д'' gehört, nicht vorkommen kann, daß vieir verschiedene Punkte Pj, P^, Q^, Q,^, von denen P^ und Pj zu N, Q^ und Çg zu N* gehören, in einer von [12], [13] und [2 3] verschiedenen raden h hegen, da' in diesem Falle wieder N und N* identisch wären, so folgt, daß auf Grund der Verknüpfungsaxiome allein N und N* keinen