Drei - Gewebe im vierdimensionalen Raum.

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in (46), also daß der symmetrische Teil des Tensors Ацтк identisch schwindet, also:

( 47 ) A(iklvi} = H ^tklm = 0,

n ( iklm )

Oder ausgeschrieben: ^1111 = ^'

- ^1112 + -4^21 -f- -^1211 +-^2111 — ^>

( 48 ) ^1122 + ^1212 + ^1221 +^2112 +^2121 +^2211 ~ ^' ■^1222 + -^2122+-^2 212 + -^3 221 =">

■^2222 ^^ ^^•

Da es sich bei unserer Frage um zweidimensionale Flächen handelt, brauchen wir uns bei dem Aufstellen der Integrierbarkeitsbedingungen nur um die Operatoren A^ und Jj zu kümmern, daraus ersieht man aber, daß (46) die einzigen Integrierbarkeitsbedingungen in dieser Ordnung sind. Gilt (47), so sind diese identisch befriedigt, (47) ist also auch eine hinreichende Bedingung für das Bestehen von Flächen der erwähnten Art. Wenn (47) nicht erfüllt ist, so können trotzdem sehr wohl einzelte Flächen aufgespannt werden; um darüber zu entscheiden, müßte man 'p^ aus (47) berechnen, und findet dann weitere notwendige dingungen, indem man die Lösung in (45) einsetzt. Wir gehen darauf weiter nicht ein, erwähnen nur den Satz:

Wenn es durch jeden Punkt fünf Flächen dieser Art gibt, so gilt (47), und es gibt dann unendlich viele.

Denn wenn die Gleichung (47) fünf verschiedene Lösungen hat, muß sie identisch befriedigt sein.

Betrachten wir jetzt die Sechseckbedingung etwas näher. Wenn (48) erfüllt ist, so lassen sich die Sechsecke sofort in den aufgespannten Flächen / deuten. Denn diese schneiden in jeder Gewebefläche eine zweiparametrige Kurvenschar aus — durch jeden Punkt geht in jeder Richtung eine Kurve. Wenn wir also, etwa ausgehend von zwei Punkten, die in einer Fläche der dritten Schar liegen, ein Sechseck konstruieren wollen, so läßt sich sicher — wenn beide Punkte nicht zu weit einanderliegen — eine Fläche/ angeben, weiche beide Punkte enthält. Jetzt haben aber alle Flächen, die bei der Konstruktion des Sechsecks überhaupt vorkommen, mit / einen Punkt, also eine Kurve gemeinsam, schneiden sich also, falls sie zu verschiedenen Scharen gehören, in einem Punkte von /. Das in / ausgeschnittene Gewebe muß also ein Sechseck- Gewebe sein. Können wir noch beweisen, daß bei Sechseckgeweben die Flächen / immer vorhanden sind, so ist damit die Bestimmung der Sechseckbedingungen auf den ebenen Fall zurückgeführt.